Chương 4: Con lắc hỗn loạn (Phần 1)

Xem tiếp Phần 2 • Trở về Mục lục cuốn sách

Giới thiệu

Cho đến giờ, chúng ta chủ yếu gặp những bài toán có thể giải được bằng cách giải tích (do vậy có thể dễ dàng kiểm tra lời giải số trị). Bây giờ ta hãy tìm hiểu một bài toán vốn không thể giải được theo cách giải tích, và chỉ có thể tiến hành nghiên cứu đúng nghĩa bằng phương pháp số.

Xết một con lắc đơn gồm vật nặng coi là chất điểm có khối lượng m, ở cuối một thanh nhẹ có chiều dài l, gắn vào một chốt cố định, không có ma sát cho phép thanh (và vật nặng) có thể chuyển động tự do dưới tác dụng của trọng lực trong mặt phẳng đứng. Một con lắc như vậy được phác họa trên Hình cf1. Ta hãy tham số hóa vị trí tức thời của con lắc bằng góc θ mà thanh làm với chiều thẳng đứng hướng xuống. Giả sử rằng con lắc tự do quay được cả 360 độ. Vì vậy, θθ+2π đều tương ứng với cùng một vị trí của con lắc.

Phương trình chuyển động góc của con lắc này đơn giản là

m l d2θ/dt2 + m gsinθ = 0,

trong đó g là gia tốc trọng lực hướng xuống. Giả sử rằng con lắc được đặt trong môi trường có tính nhớt (như không khí). Giả sử rằng mô-men lực cản tác động lên con lắc được tính theo định luật Stokes (xem Mục s42) và do đó tỉ lệ thuận với vận tốc tức thời của con lắc. Từ đó, bởi sự có mặt của lực cản do nhớt, phương trình trên được khái quát hóa thành

m l d2θ/dt2 + ν dθ/dt + m g sinθ = 0,

trong đó ν là một hằng số dương đặc trưng cho độ nhớt của môi trường đang xét. Dĩ nhiên, sự tắt dần dao động do nhớt cuối cùng sẽ thu hết toàn bộ năng lượng của con lắc, đưa nó về trạng thái tĩnh. Để có thể duy trì chuyển động chống lại độ nhớt, ta cần thêm vào một ngoại lực nào đó. Để đơn giản, ta có thể chọn một lực đẩy tuần hoàn có biên độ nhất định (có thể bắt nguồn từ dao động tuần hoàn của điểm chốt con lắc). Vì vậy, phương trình chuyển động cuối cùng được viết thành

m l d2θ/dt2 + ν dθ/dt + m g sinθ = Acosωt,   (5.3)

trong đó Aω là các hằng số lần lượt đặc trưng cho biên độ và tần số góc của mô-men lực đẩy.

con lắcCon lắc đơn.(cf1)

Đặt

ω0 = √(g/l).

Dĩ nhiên, ta thấy được ω0 là tần số (góc) riêng của dao động biên độ nhỏ của con lắc. Để cho tiện, ta có thể chuẩn hóa phương trình chuyển động của con lắc bằng cách viết,

\hat{t} = \omega_0\,t,
\displaystyle{\hat{\omega} = \frac{\omega}{\omega_0},}
\displaystyle{Q = \frac{m\,g}{\omega_0\,\nu},}
\displaystyle{\hat{A} = \frac{A}{m\,g},}

khi đó PT (5.3) trở thành

\displaystyle{ \frac{d^2\theta}{d\hat{t}^2} + \frac{1}{Q}\,\frac{d\theta}{d\hat{t}}  + \sin\theta = \hat{A}\,\cos\hat{\omega}\hat{t}.}    (5.9)

Từ giờ trở đi, dấu mũ ở các đại lượng chuẩn hóa sẽ được lược bớt, để dễ nhình. Lưu ý rằng, trong các đơn vị chuẩn hóa, tần số riêng của dao động biên độ nhỏ bằng 1. Hơn nữa, Qnhân tố chất lượng quen thuộc—nôm na là, số dao động của hệ không có lực đẩy từ ngoài, cần trải qua trước khi năng lượng của nó bị giảm đáng kể do độ nhớt. Đại lượng A là biên độ của mô-men ngoại lực theo đơn vị của mô-men trọng lực lớn nhất có thể đạt được. Cuối cùng, ω là tần số góc của mô-men ngoại lực tính theo đơn vị của tần số riêng của con lắc.

Phương trình (5.9) rõ ràng là một PVT bậc hai. Do đó, nó có thể được viết dưới dạng hệ hai PVT bậc nhất:

dθ/dt = v,     (5.11)
dv/dt = –v/Q – sinθ + Acosωt.     (5.12)

Nghiệm giải tích

Trước khi bắt tay vào giải phương trình chuyển động của bất kì hệ động lực nào bằng máy tính, đầu tiên ta nên tìm hiểu nó càng kĩ càng tốt bằng các kĩ thuật giải tích tiêu chuẩn. Không may là các PT (5.11) và (5.12) hợp thành một hệ phi tuyến—vì sự có mặt của số hạng sinθ bên vế phải của PT (5.12). Hệ này, cũng như hầu hết các hệ phi tuyến khác, đều không có nghiệm giải tích đơn giản. Tuy nhiên, cũng may là nếu ta giới hạn sự quan tâm đối với dao động biên độ nhỏ sao cho xấp xỉ

sinθ \simeq θ

còn đúng, thì hệ sẽ trở nên tuyến tính, và ta có thể dễ dàng giải theo cách giải tích.

Các phương trình chuyển động của con lắc được tuyến tính hóa có dạng:

dθ/dt = v,     (5.13)
dv/dt = –v/Q – θ + Acosωt.  (5.14)

Coi rằng vị trí của con lắc, θ(0), và vận tốc, v(0), được chỉ định lúc t=0. Trong trường hợp này, các phương trình chuyển động trên có thể được giải theo cách quen thuộc để cho nghiệm đúng:

nghiệm giải tích          (5.15, 5.16)

Ở đây

\displaystyle{\omega_\ast = \sqrt{1-\frac{1}{4Q^2}},}

và ta giả sử rằng Q > 1/2. Có thể thấy rằng các biểu thức trên cho θv đều có chứa ba số hang. Hai số hạng đầu rõ ràng biểu thị cho thành phần chuyển tiếp—vốn phụ thuộc vào điều kiện ban đầu, và sẽ tiêu hao nhanh chóng với tốc độ hàm mũ theo thời gian. Thực ra, thời gian cần để các đại lượng này tiêu hao đi còn lại 1/e thì bằng 2Q (đơn vị thời gian được chuẩn hóa). Số hạng thứ ba biểu diễn chuyển động tiệm cận theo thời gian của con lắc, và rõ ràng độc lập với điều kiện ban đầu.

ellipse
Đồ thị không gian – trạng thái của điểm thu hút có tính tuần hoàn cho một con lắc tuyến tính, dao động tắt dần, được đẩy theo chu kì. Kết quả được tính toán theo cách giải tích với Q=4ω=2. (cf2)

Thường để cho tiện, ta hiển thị chuyển động của một hệ động lực dưới dạng quỹ đạo, hoặc đường bay, trong không gian pha, tức là không gian của tất cả những biến động lực cần để xác định một trạng thái tức thời của hệ. Với trường hợp đang xét, có hai biến động lực, vθ, vì vậy không gian pha tương ứng với mặt phẳng θ-v. Lưu ý rằng từng điểm riêng biệt trong mặt phẳng này tương ứng với một trạng thái tức thời duy nhất của con lắc. [Chặt chẽ mà nói, ta cũng cần phải coi t là biến động lực, vì nó xuất hiện tường minh ở vế phải của PT (5.12).]

Rõ ràng là từ các PT (5.15) và (5.16), nếu ta đợi đủ lâu để toàn bộ những dao động nhất thời tiêu biến thì chuyển động của con lắc sẽ quy về một quỹ đạo đơn giản sau trong không gian pha:

\displaystyle{\theta(t) =  \frac{A\left[(1-\omega^2)\,\cos\omega t+ (\omega/Q)\,\sin\omega t\right]}  {\left[(1-\omega^2)^2+\omega^2/Q^2\right]},}

\displaystyle{v(t) = \frac{\omega A\left[-(1-\omega^2)\,\sin\omega t+ (\omega/Q)\,\cos\omega t\right]}  {\left[(1-\omega^2)^2+\omega^2/Q^2\right]}.}

Quỹ đạo này vạch nên đường cong khép kín

\displaystyle{\left(\frac{\theta}{\tilde{A}}\right)^2 + \left(\frac{v}{\omega\,\tilde{A}}\right)^2 =1,}

trong không gian pha, với

\displaystyle{\tilde{A} = \frac{A}{\sqrt{(1-\omega^2)^2+\omega^2/Q^2}}.}

Như được minh họa trên Hình cf2, đường cong này là một elip với các trục chính theo chiều các trục vθ. Quan sát thấy đường cong này khép kín cho phép ta kết luận rằng chuyển động này có tính tuần hoàn theo thời gian. Cụ thể, chuyển động sẽ lặp lại chính xác sau mỗi khoảng thời gian

τ = 2π/ω

tính bằng đơn vị thời gian tiêu chuẩn. Góc lệch lớn nhất của con lắc khỏi vị trí cân bằng (θ = 0) là \tilde{A}. Như được minh họa trên Hình cf3, sự biến đổi của \tilde{A} với tần số ngoại lực ω [xem PT (5.18)] cho thấy tất cả những đặc điểm của một đường cong cộng hưởng kinh điển. Biên độ cực đại của dao động cưỡng bức (dưới sự tác động của ngoại lực) thì tỉ lệ thuận với nhân tố chất lượng, Q, và đạt được khi tần số ngoại lực trùng khớp với tần số riêng của con lắc (nghĩa là khi |ω|=1). Ngoài ra, bề rộng của cộng hưởng trong không gian ω thì tỉ lệ với 1/Q.

resonance
Li độ góc tối đa của một con lắc tuyến tính, dao động tắt dần, chịu tác dụng của ngoại lực, dưới dạng hàm theo tần số ngoại lực. Đường liền nét tương ứng với Q=1. Đường nét đứt ngắn ứng với Q=5. Đường nét đứt dài ứng với Q=10. Kết quả tính theo cách giải tích.(cf3)

Đường không gian pha trên Hình cf2 được gọi là một đường thu hút tuần hoàn. Tên gọi “thu hút” là do, bất kể điều kiện ban đầu là gì, quỹ đạo của hệ trong không gian pha đều có xu hướng tiêm cận về—nói cách khác là bị hẫp dẫn—về phía đường này khi t → ∞. Sự thu hút quỹ đạo không gian pha về phía đường thu hút được minh họa trên các Hình cf4 và cf5. Dĩ nhiên đường thu hút được gọi là “tuần hoàn” vì nó tương ứng với chuyển động có tính chu kì theo thời gian.

att1
Quỹ đạo không gia pha của một con lắc tuyến tính, dao động tắt dần, chịu tác dụng của ngoại lực tuần hoàn. Số liệu được tính toán theo cách giải tích với Q=1ω=2. Ở đây, v(0)/A=0θ(0)/A=0. (cf4)

att2
Quỹ đạo không gia pha của một con lắc tuyến tính, dao động tắt dần, chịu tác dụng của ngoại lực tuần hoàn. Số liệu được tính toán theo cách giải tích với Q=1ω=2. Ở đây, v(0)/A=0,5θ(0)/A=0,5. (cf5)

Hãy tóm tắt lại kết quả tìm được đến giờ. Ta phát hiện được rằng nếu một con lắc dao động tắt dần chịu tác dụng của một ngoại lực tuần hoàn có biên độ nhỏ thì phản hồi tiệm cận thời gian (nghĩa là phản hồi khi hết giai đoạn chuyển tiếp, lúc các thành phần dao động nhất thời đã tắt hết) có tính chu kì với cùng chu kì của mô-men lực tác dụng. Hơn nữa, phản hồi cũng cho thấy biểu hiện cộng hưởng khi tần số ngoại lực tiến gần đến tần số dao động riêng của con lắc. Biên độ của phản hồi cộng hưởng, cũng như bề rộng của khung phạm vi cộng hưởng, đều bị chi phối bởi độ tắt dần của hệ. Sau một chút phản xạ, ta có thể dễ dàng thấy rằng toàn bộ kết quả này đều là hệ quả trực tiếp từ bản chất tuyến tính của phương trình chuyển động con lắc trong giới hạn biên độ nhỏ. Thật ra, có thể dễ dàng thấy được ràng phản hồi tiệm cận thời gian của bất kì một hệ tuyến tính ổn định nào (với một phổ rời rạc có các mode chuẩn) đối với một ngoại lực tuần hoàn thì cũng có dạng chu kì với cùng tần số của ngoại lực. Hơn nữa, nếu tần số ngoại lực tiến gần tới một trong một trong số các tần số dao động riêng của hệ thì phản hồi cũng có biểu hiện cộng hưởng. Nhưng, phải chăng đây là phản hồi tiện cận thời gian duy nhất cho phép một hệ động lực đối với ngoại lực tuần hoàn? Hầu hết sinh viên đại học sẽ được giáo viên thông cảm nếu trả lời “có” cho câu hỏi nói trên. Dù gì đi nữa, phần lớn các khóa học cơ lý thuyết đều tập trung về các hệ tuyến tính. Song câu trả lời chính xác phải là “không”, như ta sẽ thấy sau đây. Phản hồi của một hệ phi tuyến đối với đối với ngoại lực tuần hoàn nói chung sẽ phong phú hơn nhiều so với chuyển động chu kì đơn giản. Vì đa số các hệ động lực có trong tự nhiên là phi tuyến, rõ ràng việc hiểu được cơ sở của hiện tượng này là rất quan trọng. Không may là, ta không thể đạt mục tiêu này bằng cách giải tích chuẩn mực—các phương trình chuyển động phi tuyến nói chung đều không có nghiệm giải tích đơn giản. Thay vào đó, ta sẽ phải dùng máy tính. Để minh họa cho cách làm này, ta hãy khảo sát động lực của hệ con lắc dao động tắt dần chịu tác dụng ngoại lực tuần hoàn, không có hạn chế về biên độ chuyển động của con lắc.

Nghiệm số trị

Tiếp theo đây, chúng tôi sẽ trình bày nghiệm số trị của các PT (5.11) và (5.12) thu được bằng cách dùng lược đồ tích phân Runge-Kutta bậc 4 với bước tính có độ dài cố định. Độ dài bước tính được tham số hóa một cách thuận tiện qua biến Nacc, được định nghĩa là số bước tính mà sơ đồ sai phân thực hiện trong thời gian một chu kì của ngoại lực.

Kiểm định nghiệm số trị

Trước khi tiếp tục nghiên cứu, ta phải tự khẳng định nghiệm số trị thu được là đúng đắn. Bây giờ, phương pháp thông dụng để kiểm định một lời giải số trị là tìm kiếm giới hạn đặc biệt nào đó của tham số đầu vào sao cho có nghiệm giải tích tương ứng, rồi đối chiếu nghiệm số trị tại một trong những giới hạn đó với nghiệm giải tích tương ứng.

valid
Năng lượng chuẩn hóa \cal{E} theo thời gian (tính bằng số chu kì dao động riêng τ) của một con lắc dao động vĩnh viến, không chịu tác dụng của ngoại lực. Số liệu được tính toán với Q=1016, A=10–16, ω=1, θ(0)=0, và v(0)=1. Đường chấm chấm biểu diễn số liệu với Nacc = 12. Đường gạch đứt nết biểu thị số liệu với Nacc = 24. Đường chấm gạch biểu thị số liệu với Nacc = 48. Cuối cùng, đường liền nét biểu thị số liệu với Nacc = 96.(f16)

Một giới hạn đặc biệt của các PT (5.11) và (5.12) có được khi hệ không bị tắt dần do lực cản nhớt (tức là Q → ∞) và không có ngoại lực tác dụng (tức là A → 0). Trong trường hợp này, ta trông đợi rằng năng lượng chuẩn hóa của con lắc

{\cal E} = 1 + \frac{v^2}{2} - \cos\theta

sẽ là một hằng số của chuyển động. Lưu ý rằng \cal{E} được định nghĩa sao cho năng lượng bằng 0 mỗi khi con lắc ở trạng thái cân bằng tĩnh (tức là trạng thái đứng yên, thanh treo thẳng đứng hướng xuống dưới). Hình f16 biểu diễn \cal{E} theo thời gian, được tính bằng cách số trị cho con lắc vĩnh cửu, không chịu tác dụng của ngoại lực. Các đường đồ thị được vẽ với những giá trị khác nhau của tham số Nacc, vốn trong trường hợp này là số bước tính được phép tích phân thực hiện trong mỗi chu kì riêng (biên độ nhỏ) của dao động. Có thể thấy rằng với Nacc = 12 có hiện tượng mất năng lượng mạnh mẽ, nhưng không phải có thật, mà do sai số chặt cụt trong sơ đồ tích phân số trị, cuối cùng sẽ làm cạn toàn bộ năng lượng của con lắc sau chừng 2000 dao động. Với Nacc = 24, hiện tượng mất năng lượng giả đã đỡ trầm trọng, nhưng dù sao vẫn làm giảm hơn 50% năng lượng con lắc sau 10.000 dao động. Với Nacc = 48, độ giảm năng lượng sau 10.000 dao động chỉ còn khoảng 1%. Cuối cùng, với Nacc = 96, độ giảm năng lượng sau 10.000 dao động có thể hoàn toàn được bỏ qua. Phép thử này có vẻ cho thấy rằng khi Nacc ≥ 100 nghiệm số trị thu được đã mô tả chuyển động của con lắc với độ chuẩn xác cao trong ít nhất là 10.000 dao động.

valid1
Tham số R theo thời gian của một con lắc tuyến tính, dao động tắt dần, chịu tác dụng của ngoại lực tuần hoàn. (Thời gian được tính theo đơn vị chu kì dao động τ của ngoại lực tuần hoàn.) Số liệu được tính bằng cách số trị với Q=2, A=1, ω=3, θ(0)=0, và v(0)=0. Đường chấm chấm ứng với Nacc = 12. Đường gạch đứt ứng với Nacc = 24. Đường liền nét ứng với Nacc = 48. (f17)

Một giới hạn đặc biệt khác của các PT (5.11) và (5.12) hiện diên khi các phương trình này được tuyến tính hóa để cho ra các PT (5.13) và (5.14). Trong trường hợp này, ta trông đợi

R = \sqrt{\theta^2 + (v/\omega)^2}

là hằng số của chuyển động, sau khi tất cả dao động nhất thời kết thúc (hết giai đoạn chuyển tiếp) (xem Mục “Nghiệm giải tích”). Hình f17 biểu diễn R theo thời gian, được tính theo cách số trị, với con lắc tuyến tính, dao động tắt dần, chịu tác dụng của ngoại lực. Các đường đồ thị được vẽ với những giá trị khác nhau của tham số Nacc, vốn là số bước thời gian để thực hiện tích phân trong mỗi chu kì dao động của ngoại lực. Khi Nacc tăng lên, có thể thấy rằng biên độ của các dao động giả trong R, vốn phát sinh từ sai số chặt cụt trong lược đồ tích phân số trị, đã giảm đi nhanh chóng. Thực sự, với Nacc ≥ 48 những dao động đó nói chung không thể nhận thấy được. Theo các phân tích ở Mục “Nghiệm giải tích”, tham số R cần nhận giá trị

\displaystyle{R = \frac{A}{\sqrt{(1-\omega^2)^2+\omega^2/Q^2}}.}

Vì vậy, với trường hợp hiện tại (Q=2, A=1, ω=3), ta trông đợi R=0,122859. Có thể thấy rằng dự đoán đó rất chính xác, theo Hình f17. Phép thử trên khẳng định kết luận trước đây rằng khi Nacc ≥ 100 nghiệm số trị thu được sẽ khớp với chuyển động thực của con lắc với độ chính xác cao trong nhiều nghìn lượt dao động.

Lát cắt Poincaré

Để xác định rõ hơn, ta hãy giữ cố định biên độ và tần số được chuẩn hóa của ngoại lực tuần hoàn lần lượt bằng A= 1,5 và ω=2/3.1 Ngoài ra, ta hãy khảo sát bất kì thay đổi nào có thể phát triển trong bản chất tiệm cận thời gian của con lắc khi nhân tố chất lượng Q thay đổi. Dĩ nhiên, nếu Q được làm đủ nhỏ (nghĩa là nếu con lắc được đặt trong môi trường đủ nhớt) thì ta sẽ trông đợi biên độ của dao động tiệm cận thời gian giảm xuống thấp đủ để kết quả phân tích trường hợp tuyến tính được chỉ ra ở Mục “Nghiệm giải tích” vẫn còn đúng đắn. Thực ra, ta trông đợi những hiệu ứng phi tuyến tự chúng bộc lộ khi Q dần được tăng lên, và do đó biên độ dao động của con lắc sẽ tăng tới mức xấp xỉ về li độ góc nhỏ sẽ không còn đúng nữa.

q05
Các điểm cách đều (theo thời gian) trên quỹ đạo tiện cận thời gian trong không gian pha. Số liệu được tính theo cách số trị với Q=0,5 A = 1,5 , ω = 2/3 , θ(0) = 0, v(0)=0, và Nacc = 100. (f18)

Hình f18 cho thấy quỹ đạo tiệm cận thời gian trong không gian pha tính bằng cách số trị cho trường hợp Q đủ nhỏ (tức là Q=1/2) sao cho phép xấp xỉ góc nhỏ còn thích hợp. Không ngạc nhiên là quỹ đạo rất giống với các quỹ đạo tính theo cách giải tích như trong Mục “Nghiệm giải tích”. Việc quỹ đạo này bao gồm một vòng, và hình thành đường cong khép kín trong không gian pha đã gợi ý rõ, rằng chuyển động có tính tuần hoàn với cùng chu kì của ngoại lực tuần hoàn—ta gọi loại chuyển động này là chuyển động chu kì-1. Một cách tổng quát hơn, chuyển động chu kì-n là chuyển động mà tự nó lặp lại chính xác sau mỗi n chu kì của ngoại lực tuần hoàn (và hiển nhiên là không tự lặp lại bất kì lần nào trong khoảng thời gian ngắn hơn n chu kì). Dĩ nhiên, chuyển động chu kì-1 là dạng chuyển động tiệm cận thời gian duy nhất có thể xảy ra trong giới hạn li độ góc nhỏ.

Dĩ nhiên việc thử tạo đồ thị cho chuyển động chu kì-n sẽ rất có ích. Trên thực tế, một thử nghiệm như vậy đã được nhà toán học người Pháp, Henry Poincaré, tiến hành cách đây hơn 100 năm— ngày nay, nó được gọi là lát cắt Poincaré để ghi nhận công lao của ông. Ý tưởng của lát cắt Poincaré, khi áp dụng vào con lắc chịu ngoại lực tuần hoàn, là rất đơn giản. Cũng như trước, ta đi tính chuyển động tiệm cận thời gian của con lắc, rồi hiển thị nó dưới dạng một loạt các điểm trong không gian pha θ-v. Tuy nhiên ta chỉ chấm một điểm trong mỗi chu kì của ngoại lực tuần hoàn. Chính xác hơn, ta chỉ chấm một điểm mỗi khi

ωt = φ+k

trong đó k là số nguyên bất kì, và φ được gọi là pha Poincaré. Đối với chuyển động chu kì-1, trong đó chuyển động tự lặp lại đúng như vậy sau mỗi chu kì của ngoại lực tuần hoàn, và ta trông đợi rằng lát cắt Poincaré sẽ chỉ chứa một điểm trong không gian pha, nghĩa là ta trông đợi rằng mọi điểm đều chồng chập vào một chỗ. Tương tự, với chuyển động chu kì-2, trong đó chuyển động tự lặp lại chính xác sau hai chu kì ngoại lực, ta sẽ trông đợi lát cắt Poincaré sẽ gồm có hai điểm trong mặt phẳng pha, nghĩa là ta trông đợi những điểm cách một sẽ chập vào nhau. Cuối cùng, với chuyển động chu kì-n ta trông đợi rằng lát cắt Poincaré sẽ gồm n điểm trong không gian pha.

q05p
Lát cắt Poincaré trên một quỹ đạo tiệm cận thời gian. Kết quả được tính bằng phương pháp số với Q = 0,5 , A=1,5 , ω = 2/3 , θ(0) = 0, v(0) = 0, Nacc = 100, và φ = 0. (f19)

Hình f19 cho thấy lát cắt Poincaré của quỹ đạo từ Hình f18. Thực tế là lát cắt này chỉ chứa một điểm khẳng định rằng chuyển động biểu diễn trên Hình f18 chính là chuyển động chu kì-1.

Phá vỡ sự đối xứng không gian

scanvd
Tọa độ v của lát cắt Poincaré trên một quỹ đạo tiệm cận thời gian vẽ theo nhân tố chất lượng Q. Kết quả được tính bằng cách số trị với A = 1,5 , ω = 2/3 , θ(0) = 0, v(0) = 0, Nacc = 100, và φ = 0. (f20)

Giả sử bây giờ ta tăng dần nhân tố chất lượng Q. Điều gì sẽ xảy ra đối với quỹ đạo đơn giản trên Hình f18? Hóa ra là, ban đầu không có gì thú vị xảy ra. Kích thước của quỹ đạo dần lớn lên, tương ứng với một độ tăng của biên độ con lắc, nhưng bản chất của chuyển động vẫn không đổi. Tuy nhiên, có điều thú vị xảy ra khi Q tăng lên quá khoảng 1,2 lần. Hình f20 biểu thị tọa độ v của lát cắt Poincaré trên quỹ đạo theo Q trong khoảng từ 1,2 đến 1,3. Lưu ý có một điểm rớt đột ngột tại Q \simeq 1,245.

Biểu hiện này nhấn mạnh điều gì? À, Hình f21 cho thấy quỹ đạo tiệm cận thời gian trong không gian pha ngay trước điểm rớt (nghĩa là điểm tại Q = 1,24), và Hình f22 cho thấy quỹ đạo phần nào sau điểm rớt (tức là tại Q = 1,30). Rõ ràng là điểm rớt tương ứng với một sự thay đổi trong bản chất quỹ đạo tiệm cận thời gian của con lắc trong không gian pha. Trước điểm rớt, quỹ đạo có các khoảng thời gian gần như nhau trong các miền θ<0θ>0. Tuy nhiên, sau điểm rớt thì quỹ đạo có phần lớn thời gian ở trong miền θ<0. Nói cách khác, sau thời điểm rớt này, quả lắc thiên về di chuyển ở vùng bên trái so với vị trí cân bằng. Điều này có phần kì lạ, vì không có thành phần nào trong phương trình chuyển động lại có sự phân biệt giữa vùng bên trái và vùng bên phải so với đường thẳng đứng. Ta gọi nghiệm của loại bài toán này—nghĩa là có tính chất không cho thể hiện được đầy đủ tính chất đối xứng của hệ động lực được xét đến—với tên gọi nghiệm phá đối xứng. Trong trường hợp này, do tính đối xứng cụ thể bị phá vỡ là đối xứng không gian, nên ta nói quá trình mà nghiệm phá đối xứng đột ngột xuất hiện khi điều chỉnh tham số Q, là phá đối xứng không gian. Không cần nói thêm rằng phá đối xứng không gian là một quá trình có bản chất phi tuyến—nó không thể xảy ra trong các hệ động lực có những phương trình chuyển động tuyến tính.

q124
Các điểm cách đều (theo thời gian) trên một quỹ đạo tiệm cận thời gian trong không gian pha. Kết quả được tính bằng cách số trị với Q = 1,24 , A = 1,5 , ω = 2/3, θ(0) = 0, v(0) = 0, và Nacc = 100. (f21)

q130d
Các điểm cách đều (theo thời gian) trên một quỹ đạo tiệm cận thời gian trong không gian pha. Kết quả được tính bằng cách số trị với Q = 1,30 , A = 1,5 , ω = 2/3, θ(0) = 0, v(0) = 0, và Nacc = 100. (f22)

Không có lý do gì để dựa trên việc phương trình chuyển động của con lắc không thiên về phía nào (trái hay phải) mà buộc quỹ đạo lệch trái như trên Hình f22 phải đi kèm với một quỹ đạo lệch phải đối xứng gương, y hệt với nó. Làm cách nào mà thu được hình ảnh quỹ đạo đối xứng này? Hóa ra là tất cả những việc ta cần làm là giữ cho các tham số vật lý Q, A, và ω cố định, nhưng thay đổi các điều kiện ban đầu θ(0)v(0). Hình f23 cho thấy một quỹ đạo tiệm cận thời gian trong không gian pha được tính toán với cùng các tham số vật lý được dùng trên Hình f22, nhưng với các điều kiện ban đầu θ(0)=0v(0) = –3, thay vì θ(0) = 0v(0) = 0. Có thể thấy được rằng lần này quỹ đạo chính là hình ảnh đối xứng gương của quỹ đạo trên Hình f22.

q130u
Các điểm cách đều (theo thời gian) trên một quỹ đạo tiệm cận thời gian trong không gian pha. Kết quả được tính bằng cách số trị với Q = 1,30 , A = 1,5 , ω = 2/3, θ(0) = 0, v(0) = –3, và Nacc = 100. (f23)

Hình f24 biểu diễn tọa độ v của lát cắt Poincaré trên một quỹ đạo tiệm cận thời gian, được tính với cùng những thông số vật lý ở Hình f20, theo Q trong khoảng từ 1,2 đến 1,3. Kết quả được biểu diễn với hai bộ điều kiện ban đầu đã đề cập trước đây. Hình vẽ này được diễn giải như sau. Khi Q nhỏ hơn một giá trị phân giới, vốn ở khoảng 1,245, thì sau đó hai bộ điều kiện ban đầu dẫn đến hai hiện tượng chuyển động đều hội tụ về cùng đường thu hút chu kì-1, có tính đối xứng trái-phải. Tuy nhiên, một khi Q vượt quá giá trị cực hạn thì đường thu hút phân nhánh thành hai đường thu hút chu kì-1, cân xứng, và đối xứng gương với nhau. Hiển nhiên là sự phân nhánh được biểu thị bằng các nhánh rẽ của đường cong trên Hình f24. Các nhánh dưới và trên tương ứng lần lượt với các đường thu hút thiên trái và thiên phải.

scanvud
Tọa độ v của lát cắt Poincaré trên quỹ đạo tiệm cận thời gian được vẽ theo nhân tố chất lượng Q. Kết quả được tính theo cách số trị với A = 1,5, ω = 2/3, và Nacc = 100. Kết quả được biểu thị với hai bộ điều kiện ban đầu: θ(0) = 0v(0) = 0 (nhánh dưới); θ(0) = 0v(0) = –3 (nhánh trên).(f24)

Phá đối xứng nhất thời, một hiện tượng phi tuyến cơ bản đã được minh họa trong phần trên, đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực vật lý. Chẳng hạn, phá đối xứng giúp tăng khối lượng các hạt cơ bản trong thuyết thống nhất điện từ và các tương tác yếu.2 Phá đối xứng cũng đóng vai trò then chốt trong lý thuyết được gọi là “giãn nở” của sự mở rộng vũ trụ thời sơ khai.3

Vùng thu hút

Ta đã thấy rằng khi Q = 1,3 , A = 1,5 , và ω = 2/3 có hai đường thu hút chu kì-1 cùng tồn tại trong không gian pha θv. Quỹ đạo tiệm cận thời gian của con lắc trong không gian pha tiệm cận về một trong hai đường thu hút này tùy thuộc vào điều kiện ban đầu: nghĩa là tùy thuộc vào các giá trị của θ(0)v(0). Ta hãy định nghĩa vùng thu hút của một đường thu hút là quỹ tích của tất cả những điểm trong mặt phẳng θ(0)v(0) mà dẫn đến chuyển động cuối cùng hội tụ về đường thu hút đó. Ta đã thấy được rằng trong giới hạn biên độ nhỏ (nghĩa là tuyến tính) (xem Mục “Nghiệm giải tích”) chỉ có một đường hâp dẫn chu kì-1 trong không gian pha, và tất cả những điều kiện đầu khả dĩ đều dẫn đến chuyển động hội tụ về đường thu hút này. Nói cách khác, vùng thu hút của đường thu hút trường hợp biên độ nhỏ sẽ bao gồm toàn bộ mặt phẳng θ(0)v(0). Trường hợp đang xét, trong đó có hai đường thu hút cùng tồn tại trong không gian pha, có phần phức tạp hơn.

basin0a
Vùng thu hút của các đường thu hút không cân xứng, đối xứng gương với nhau đã được chỉ ra trên các Hình f22 và f23. Các vùng của không gian θ(0)v(0) dẫn đến chuyển động hộ tụ về phía đường đối xứng lệch trái chỉ ra ở Hình f22, được tô màu trắng. Các vùng của không gian θ(0)v(0) dẫn đến chuyển động hộ tụ về phía đường đối xứng lệch phải chỉ ra ở Hình f23, được tô màu đen. Kết quả được tính toán theo cách số trị với Q = 1,3 , A = 1,5 , ω = 2/3 , Nacc = 100, và φ = 0. (f25)

Hình f25 biểu thị các vùng thu hút, trong không gian θ(0)v(0) của các đường thu hút không cân xứng, đối xứng gương với nhau từ các Hình f22 và f23. Vùng thu thút của đường thu hút lệch trái trong Hình f22 được tô màu đen, còn đường thu hút lệch phải trong Hình f23 được tô màu trắng. Có thể thấy được rằng hai vùng hình thành nên một kiểu mẫu đan xen phức tạp. Vì ta có thể nhận ra được các góc π và –π, nên có thể thấy mép bên phải của mẫu này nối liền trơn tru với mép bên trái. Thực ra, ta có thể hình dung dạng mẫu này tồn tại trên bề mặt của một hình trụ tròn.

basin1a
Chi tiết các vùng thu hút của các đường thu hút không cân xứng, đối xứng gương với nhau đã minh họa ở các Hình f22 và f23. Các vùng thuộc không gian θ(0)v(0) mà dẫn đến chuyển động hội tụ về đường hấp dẫn thiên trái ở Hình f22 thì được tô màu trắng. Các vùng thuộc không gian θ(0)v(0) mà dẫn đến chuyển động hội tụ về đường hấp dẫn thiên phải ở Hình f23 thì được tô màu đen. Kết quả được tính toán số trị với Q = 1,3 , A = 1,5 , ω = 2/3, Nacc = 100, và φ = 0. (f26)

Giả sử rằng ta vạch một đường chéo từ góc dưới tay trái Hình f25 lên đến góc trên tay phải. Đường chéo này giao cắt với một số những dải màu đen có độ dày khác nhau. Hãy quan sát để thấy được rằng hai dải hẹp nhất (dải thứ tư đếm từ góc dưới phía trái và dải thứ hai từ góc trên tai phải) đều thể hiện cấu trúc mà không được phân giải rõ ràng trên hình này.

basin2a
Chi tiết các vùng thu hút của các đường thu hút không cân xứng, đối xứng gương với nhau đã minh họa ở các Hình f22 và f23. Các vùng thuộc không gian θ(0)v(0) mà dẫn đến chuyển động hội tụ về đường hấp dẫn thiên trái ở Hình f22 thì được tô màu trắng. Các vùng thuộc không gian θ(0)v(0) mà dẫn đến chuyển động hội tụ về đường hấp dẫn thiên phải ở Hình f23 thì được tô màu đen. Kết quả được tính toán số trị với Q = 1,3 , A = 1,5 , ω = 2/3, Nacc = 100, và φ = 0. (f27)

Hình f26 là phần phóng to của góc trái phía dưới của Hình f25. Có thể thấy rằng dải chưa được phân định rõ ở Hình 25 (nghĩa là dải thứ hai và thứ ba từ phía bên tay phải của Hình 26) thực ra chỉ bao gồm một đôi dải xếp sát nhau. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng dải hẹp hơn trong số hai dải này đã thể hiện cấu trúc không phân định rõ trên hình này.

basin3a
Chi tiết các vùng thu hút của các đường thu hút không cân xứng, đối xứng gương với nhau đã minh họa ở các Hình f22 và f23. Các vùng thuộc không gian θ(0)v(0) mà dẫn đến chuyển động hội tụ về đường hấp dẫn thiên trái ở Hình f22 thì được tô màu trắng. Các vùng thuộc không gian θ(0)v(0) mà dẫn đến chuyển động hội tụ về đường hấp dẫn thiên phải ở Hình f23 thì được tô màu đen. Kết quả được tính toán số trị với Q = 1,3 , A = 1,5 , ω = 2/3, Nacc = 100, và φ = 0. (f28)

Hình f27 là phần phóng to của Hình f26. Có thể thấy rằng dải chưa được phân định rõ ở Hình 26 (nghĩa là dải thứ nhất và thứ hai từ phía bên tay trái Hình 27) thực ra chỉ bao gồm một đôi dải xếp sát nhau. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng dải hẹp hơn trong số hai dải này đã thể hiện cấu trúc không phân định rõ trên hình này.

Hình f28 là phần phóng to của Hình f27. Có thể thấy rằng dải chưa được phân định rõ ở Hình 27 (nghĩa là dải thứ nhất, thứ hai và thứ ba từ phía bên tay phải Hình 28) thực ra chỉ bao gồm một bộ ba dải xếp sát nhau. Tuy nhiên, cần lưu ý rằng dải hẹp nhất trong số ba dải này đã thể hiện cấu trúc không phân định rõ trên hình.

Đến giờ đã rõ ràng là bất kể ta nhìn kĩ Hình f25 đến mức nào, ta luôn tìm thấy cấu trúc không phân giải rõ. Nói cách khác, separatrix (đường phân tách) giữa hai vùng thu hút cho thấy trên hình là một đường cong thể hiện cấu trúc trên mọi thang tỉ lệ. Có một thuật ngữ toán học riêng những cho đường cong như vậy—đó là fractal,4 hay còn gọi là đường phân dạng.

Nhiều người nghĩ rằng fractal là thứ đồ chơi của toán học và được dùng để tạo ra những bức vẽ xinh xắn. Tuy nhiên, hóa ra là có một mối quan hệ mật thiết giữa fractal và động lực học của hệ phi tuyến—đặc biệt là những hệ có biểu hiện động lực hỗn loạn. Ta vừa thấy một ví dụ trong đó đường biên giới giữa hai vùng thu hút của hai đường thu hút đồng thời tồn tại trong không gian pha; đường biên giới này chính là một đường cong fractal. Điều này chính là một kết quả chung: nghĩa là khi nhiều đường thu hút cùng tồn tại trong không gian pha thì đường phân chia giữa các vùng thu hút luôn sẽ là fractal. Điều này cho ta biết gì về bản chất của hệ động lực phi tuyến? À, trở về Hình f25, ta có thể thấy rằng tại vùng thuộc không gian pha ở đó đường phân chia biểu hiện mạnh mẽ nhất (tức là vùng mà các dải sáng tối bị gãy khúc), hệ thống biểu lộ tính nhạy cao đến mức bất thường đối với các điều kiện ban đầu. Nói cách khác, ta chỉ cần hơi thay đổi điều kiện ban đầu (nghĩa là di chuyển từ dải tối sang dải sáng, hay ngược lại) là đã làm đảo lộn chuyển động tiệm cận thời gian của con lắc (nghĩa là làm cho hệ thống hội tụ về đường thu hút lệch trái thay vì về đường thu hút lệch phải, hoặc ngược lại). Fractal, và độ nhạy rất cao theo điều kiện ban đầu là hai chủ đề ta sẽ lại bắt gặp khi nghiên cứu môn học động lực phi tuyến.

Phân nhánh nhân đôi chu kì

pd_scanvd
Tọa độ v của lát cắt Poincaré trên quỹ đạo tiệm cận thời gian được vẽ theo nhân tố chất lượng Q. Kết quả được tính bằng cách số trị với A=1,5 , ω=2/3, θ(0)=0, v(0)=0, Nacc=100, và φ=0. (f29)

Bây giờ ta hãy trở về Hình f20. Hãy hớ lại rằng khi nhân tố chất lượng Q dần dần tăng lên quỹ đạo tiệm cận thời gian của con lắc trong không gian pha sẽ trải qua một điểm chuyển tiếp đột ngột tại Q \simeq 1,245, từ một quỹ đạo cân đối trái-phải, chu kì-1 sang một quỹ đạo lệch trái, chu kì-1. Điều gì sẽ xảy ra nếu ta tiếp tục tăng Q? Hình f29 về cơ bản là một diễn biến tiếp theo của Hình f20. Có thể thấy được rằng khi Q tăng lên, quỹ đạo lệch trái, chu kì-1 dần dần biến chuyển đến khi Q đạt đến một giá trị phân giới, bằng khoảng 1,348. Khi Q vượt quá giá trị phân giới này thì bản chất của quỹ đạo sẽ trải qua một thay đổi đột ngột khác: lần này từ một quỹ đạo lệch trái, chu kì-1 sang quỹ đạo lệch trá, chu kì-2. Hiển nhiên là sự thay đổi được nhận thấy qua việc phân nhánh đường cong trên Hình f29. Kiểu chuyển biến này được gọi là một phân nhánh nhân đôi chu kì, vì nó có sự đột ngột gấp đôi chu kì lặp lại của chuyển động tiệm cận thời gian ở con lắc.

Ta có thể biểu diễn chuyển động chu kì-1 một cách giản lược là AAAAAA, trong đó chữ A biểu thị cho một dạng mẫu chuyển động được lặp lại sau mỗi chu kì của ngoại lực tuần hoàn. Tương tự, ta có thể biểu diễn chuyển động chu kì-2 là ABABAB, trong đó AB biểu diễn các dạng mẫu chuyển động {phân biệt được, vốn lặp lại xen kẽ nhau ở các chu kì của ngoại lực tuần hoàn. Một sự phân nhánh nhân đôi chu kì được biểu diễn là: AAAAAA⋯ → ABABAB. Rõ ràng, tất cả những gì xảy ra trong quá trình phân nhánh như vậy là việc con lắc đột ngột quyết định thực hiện chuyển động hơi khác đi một chút trong các chu kì xen kẽ của ngoại lực tuần hoàn.

pd_phased
Các điểm cách đều (theo thời gian) trên một quỹ đạo tiệm cận thời gian trong không gian pha. Kết quả được tính bằng cách số trị với Q=1,36 , A=1,5 , ω=2/3, θ(0)=0, v(0)=–3, và Nacc=100. (f30)

Hình f30 cho thấy quỹ đạo tiệm cận thời gian của con lắc trong không gian pha được tính với một giá trị của Q phần nào cao hơn mức cần thiết để “châm ngòi” cho hiện tượng phân nhánh nhân đôi chu kì nêu trên. Có thể thấy rằng quỹ đạo lệch về trái (nghĩa là trong phần lớn thời gian nó tồn tại phía bên tay trái của hình đồ thị), và có dạng một đường cong khép kín gồm hai vòng kín khóa vào nhau trong không gian pha. Hãy nhớ lại rằng với quỹ đạo chu kì-1 chỉ có 1 vòng kín trong không gian pha. Hình f31 cho thây lát cắt Poincaré của quỹ đạo ở Hình f30. Việc lát cắt này bao gồm hai khẳng định rằng quỹ đạo tương ứng với chuyển động chu kì-2.

pd_poincared
Lát cắt Poincaré của một quỹ đạo tiệm cận thời gian. Kết quả được tính theo cách số trị với Q=1,36 , A=1,5 , ω=2/3, θ(0)=0, v(0)=0, Nacc = 100, và φ=0. (f31)

Sự phân nhánh nhân đôi chu kì là một ví dụ của sự phá vỡ đối xứng không gian. Các phương trình chuyển động của con lắc là bất biến dưới phép biến đổi t → t, trong đó τ là chu kì của ngoại lực tuần hoàn. Trong giới hạn biên độ nhỏ (nghĩa là tuyến tính), chuyển động tiệm cận thời gian của con lắc luôn tuân theo tính đối xứng này. Tuy nhiên, như ta vừa thấy, ở chế độ phi tuyến phương trình chuyển động có thể nhận nghiệm trong đó sự đối xứng này bị phá vỡ một cách “tùy hứng”. Hiển nhiên, chuyển động mà tự lặp lại sau từng hai chu kì của ngoại lực tuần hoàn thì không còn tính đối xứng theo thời gian như chuyển động tự lặp lại sau mỗi chu kì của ngoại lực.

pd_scanvud
Tọa độ v của lát cắt Poincaré trên quỹ đạo tiệm cận thời gian được vẽ theo nhân tố chất lượng Q. Kết quả được tính theo cách số trị với A=1,5 , ω=2/3, Nacc = 100, và φ=0. Kết quả được biểu thị cho hai bộ số liệu điều kiện ban đầu: θ(0)=0v(0)=0 (nhánh đưới); θ(0)=0v(0)=–2 (nhánh trên).(f32)

Hình f32 chính là sự tiếp nối của Hình f24. Số liệu kết quả được biểu diễn với hai bộ điều kiện ban đầu khác nhau dẫn đến các chuyển động hội tụ về hai đường thu hút lệch trái (nhánh dưới) và lệch phải (nhánh trên). Ta đã thấy được rằng đường thu hút tuần hoàn lệch trái đã trải qua một phân nhánh nhân đôi chu kì tại Q = 1,348. Rõ ràng là trên Hình f32, đường thu hút lệch phải cũng trải qua một phân nhánh tương tự với giá trị Q gần đúng như vậy. Điều này không có gì đáng ngạc nhiên, vì như ta đã đề cập đến, với những tham số vật lý cố định (tức là Q, A, ω), các đường thu hút lệch trái và lệch phải là những hình đối xứng gương của nhau.


  1. G.L. Baker, Control of the chaotic driven pendulum, Am. J. Phys.
    textbf{63}, 832 (1995).
  2. E.S. Albers and B.W. Lee, Phys. Rep. 9C, 1 (1973).
  3. P. Coles, and F. Lucchin, Cosmology: The origin and evolution of cosmic structure, (J. Wiley & Sons, Chichester UK, 1995).
  4. B.B. Mandelbrot, The fractal geometry of nature, (W.H. Freeman, New York NY, 1982).
About these ads

1 phản hồi

Đăng trong Vật lý tính toán

One response to “Chương 4: Con lắc hỗn loạn (Phần 1)

  1. Pingback: Chương 1: Giới thiệu chung | Blog của Chiến

Gửi phản hồi

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s