Chương 3: Các công cụ (Phần 1)

Trở về Mục lục cuốn sách

Trong xử lý ảnh số, có những công cụ nhất định giữ vai trò trung tâm. Chúng bao gồm các công cụ toán như tích chập, phân tích Fourier, và những công cụ mô tả và xử lý thống kê như mã dây chuyềnmã chạy. Chúng tôi sẽ trình bày những công cụ này mà không đề cập đến bất kì đẫn giải nào. Phần dẫn giải sẽ xuất hiện ở những mục tiếp sau.

3.1 Tích chập

Có một vài cách kí hiệu để chỉ tích chập của hai tín hiệu (nhiều chiều) để tạo ra một tín hiệu đầu ra. Những kí hiệu thường dùng nhất bao gồm:

a ⊗ ab                  (1)

Ta sẽ dùng dạng thứ nhất, a ⊗ b, trong những định nghĩa chính thức sau.

Trong không gian 2 chiều liên tục:

c(xy) = a(xy) ⊗ b(xy) = ∫–∞–∞a(χ, ζ) b(x – χ, y – ζ) dχdζ           (2)

Trong không gian 2 chiều rời rạc:

c[mn] = a[mn] ⊗ b[mn] = ∑j=–∞+∞k=–∞+∞a[jkb[m – jn – k]              (3)

3.2 Những đặc tính của tích chập

Có một số đặc tính quan trọng gắn với tích chập.

  • Tích chập có tính giao hoán.

a ⊗ b ⊗ a                  (4)

  • Tích chập có tính kết hợp.

a ⊗ (b ⊗ d) = (a ⊗ b) ⊗ a ⊗ b ⊗ d                (5)

  • Tích chập có tính phân phối.

a ⊗ (d) = (a ⊗ b) + (a ⊗ d)                      (6)

trong đó a, b, c, và d là các ảnh, kiểu liên tục hoặc rời rạc.

3.3 Biến đổi Fourier

Phép biến đổi Fourier cho ta một cách biểu diễn khác cho tín hiệu, cụ thể là biểu diễn dưới dạng một tổng trọng số của các số mũ phức. Từ công thức Euler:

ejq = cossinq                        (7)

trong đó j2 = –1, ta có thể nói rằng phép biến đổi Fourier cho ta một cách biểu diễn của tín hiệu (2 chiều) dưới dạng một tổng trọng số của các hàm sin và cosin. Những công thức định nghĩa cho các phép biến đổi Fourier thuận và Fourier nghịch như sau. Cho trước một ảnh a và dạng biến đổi Fourier của nó, A, thì phép biến đổi thuận đi từ miền không gian (liên tục hoặc rời rạc) tới miền tần số, vốn luôn có tính liên tục.

Thuận:                = $latex \mathfrak{F}$ {a}                               (8)

Phép biến đổi Fourier nghịch đi từ miền tần số ngược về miền không gian.

Nghịch:               F{A}                              (9)

Phép biến đổi Fourier là phép toán duy nhất và không thể đảo ngược, sao cho:

F-1{F{a}}   và   F{F-1{A}}                (10)

Công thức cụ thể để biến đổi thuận và nghịch giữa miền không gian và miền tần số được cho sau đây:

Trong không gian 2 chiều liên tục:

Thuận –                   A(uv) = ∫–∞+∞–∞+∞a(xyej(ux+vy)dxdy                           (11)

Nghịch –                 a(xy) = (1/4π2) ∫–∞+∞–∞+∞A(uve+j(ux+vy)dudv        (12)

Trong không gian 2 chiều rời rạc: 

Thuận –                  A(Ω, Ψ) = ∑m=–∞+∞n=–∞+∞a[mn]ejmn) 

Nghịch –               a[mn] = (1/4π2) ∫–ππ–ππA(Ω, Ψ)e+jmn)dΩdΨ

3.4 Những đặc tính của biến đổi Fourier

Có một loạt những đặc tính gắn với biến đổi Fourier thuận và nghịch. Dưới đây là một số đặc tính quan trọng nhất đối với xử lý ảnh:

  • Nói chung, phép biến đổi Fourier là một hàm của các biến tần số thực. Theo đó phép biến đổi có thể được viết dưới dạng độ lớn và pha của nó.

A(uv) = |A(uv)|jϕ(uv)              A(Ω, Ψ) = |A(Ω, Ψ)|jϕ(Ω, Ψ)                 (15)

  • Một tín hiệu 2 chiều cũng có thể có dạng phức và được viết dưới dạng độ lớn và pha của nó

a(xy) = |a(xy)|jϑ(xy)               a[mn]=|a[mn]|jϑ[mn]                      (16)

  • Nếu tín hiệu hai chiều có dạng thực, thì biến đổi Fourier sẽ có những cặp giá trị đối xứng nhất định:

A(uv) = A(–u, –v)                        A(Ω,Ψ) = A(–Ω, –Ψ)                            (17)

Kí hiệu () để chỉ liên hợp phức. Với các tín hiệu thực, PT (17) sẽ trực tiếp dẫn tới: 

|A(uv)| = |A(–u, –v)|          ϕ(uv)= –ϕ(–u, –v)
|A(Ω, Ψ)| = |A(–Ω, –Ψ)|     ϕ(Ω, Ψ)= –ϕ(–Ω, –Ψ)                     (18)

  • Nếu tín hiệu hai chiều có tính thực và chẵn, thì biến đổi Fourier của nó cũng là thực và chẵn.

A(uv) = A(–u, –v)                A(Ω, Ψ) = A(–Ω, –Ψ)                      (19)

  • Các phép biến đổi Fourier thuận và nghịch là các phép toán tuyến tính.

F{w1w2b} = F{w1a} + F{w2b} = w1w2B
F–1{w1w2b} = F–1{w1a} + F–1{w2b} = w1w2B
               (20)

trong đó ab là các tín hiệu (ảnh) 2 chiều còn w1w2 là các hằng số phức tùy ý.
  • Phép biến đổi Fourier trong không gian rời rạc, A(Ω,Ψ), có tính chu kỳ trên cả ΩΨ. Cả hai chu kì đều là .

A(Ω + 2πj, Ψ + 2πk) = A(Ω, Ψ)              j,k nguyên                              (21)

  • Năng lượng, E, trong một tín hiệu có thể được đo trên miền không gian hoặc trên miền thời gian. Với một ín hiệu có nặng lượng hữu hạn:

    Định lý Parseval (không gian 2 chiều liên tục):

= ∫–∞+∞–∞+∞|a(x,y)|2dxdy = (1/4π2) ∫–∞+∞–∞+∞|A(u,v)|2dudv                 (22)

Định lý Parseval (không gian 2 chiều rời rạc):

= ∑m=–∞+∞ n=–∞+∞|a[mn]|2 = (1/4π2) ∫–π–π|A(Ω, Ψ)|2dΩ dΨ      (23)

Không nên nhầm “năng lượng tín hiệu” này với nặng lượng vật lý ở trong hiện tượng phát ra tín hiệu. Chẳng hạn, nếu giá trị a[m,n] biểu thị số các photon, thì năng lượng vật lý sẽ tỉ lệ với biên độ a, chứ không phải là với bình phương của biên độ. Nói chung, trường hợp này được xét với việc ghi hình video.

  • Cho trước ba tín hiệu 3 chiều a, b, và c cùng các dạng biến đổi Fourier tương ứng của chúng, A, B, C:

a ⊗ bF• B

• bFC = (1/4π2A ⊗ B                   (24)

Diễn đạt bằng lời thì tích chập trong miền không gian tương đương với phép nhân trong miền tần số (miền Fourier) và ngược lại. Đây là một kết quả trung tâm; nó không chỉ cung cấp một phương pháp thực hiện tích chập mà còn làm rõ cách mà hai tín hiệu tương tác với nhau—bằng cách chập—để hình thành một tín hiệu thứ ba. Ta sẽ còn sử dụng nhiều đến kết quả này.

  • Nếu một tín hiệu 2 chiều a(x,y) được phóng đại theo tọa độ không gian của nó thì:
    Nếu    a(xy) → a(MxxMyy)
    Thì    A(uv) → A(u/Mxv/My)/|MxMy|                                   (25)
  • Nếu một tín hiệu 2 chiều a(x,y) có phổ Fourier A(u,v) thì:
    A(u=0, v=0) = ∫–∞+∞–∞+∞a(x,y)dxdy
    a(x=0,y=0) = (1/4π2) ∫–∞+∞–∞+∞A(u,v)dxdy                      (26)
  • Nếu một tín hiệu 2 chiều a(x,y) có phổ Fourier A(u,v) thì:
    a(x,y)/∂xFjuA(u,v)             ∂a(x,y)/∂yFjvA(u,v)
    2a(x,y)/∂x2F→ –u2A(u,v)     ∂2a(x,y)/∂y2F→ –v2A(u,v)            (27)

Tầm quan trọng của pha và biên độ

Phương trình (15) cho thấy rằng biến đổi Fourier của một hình ảnh có thể sẽ phức tạp. Điều đó được minh họa ở Hình 4a-c sau đây. Hình 4a cho thấy ảnh gốc a[m,n]. Hình 4b là biên đồ được giãn theo tỉ lệ log(|A(Ω,Ψ)|), còn Hình 4c là pha ϕ(Ω,Ψ).

Hình 4

Cả hai hàm biên độ và pha đều cần có để tái tạo hoàn toàn được ảnh từ dạng biến đổi Fourier của nó. Hình 5a cho thấy điều gì sẽ sảy ra nếu Hình 4a được tái tạo chỉ dựa trên thông tin về biên độ, còn Hình 5b cho thấy điều gì sẽ xảy a nếu Hình 4a được tái tạo chỉ dựa trên cơ sở thông tin về pha.

Hình 5

Như vậy, chỉ với thông tin về biên độ hoặc pha không thôi thì vẫn chưa đủ để tái tạo lại hình. Hình chỉ tạo với biên độ (Hình 5a) không thể nhận ra được và có vấn đề về khoảng sáng tối (dynamic range). Hình chỉ tạo với pha (Hình 5b) thì chỉ đủ để nhận ra, nghĩa là có chất lượng xuống cấp nghiêm trọng.

Tín hiệu đối xứng vòng

Một tín hiệu 2 chiều a(x,y) bất kì luôn có thể được biểu diễn trong hệ tọa độ dưới dạng a(r,θ). Khi tín hiệu 2 chiều này có tính đối xứng vòng, điều này nghĩa là:

a(x,y) = a(r, θ) = a(r)                         (28)

trong đó rxy2tanθ = y/x. Vì một loạt các hệ vật lý như thấu kính thể hiện tính đối xứng vòng, nên sẽ rất có ích nếu ta tính được dạng biến đổi Fourier phù hợp.

Dạng biến đổi Fourier A(u,v) có thể được viết trong hệ tọa độ cực là A(q,ξ) và theo đó, đối với một tín hiệu có tính đối xứng vòng, được viết dưới dạng biến đổi Hankel:

A(u,v) = F{a(x,y)} = 2π∫0a(r)J0(rq)rdr A(q)         (29)

trong đó quv2, tanξ = v/u còn J0(•) là hàm Bessel dạng thứ nhất với bậc bằng 0.

Dạng biến đổi Hankel ngược được cho bởi:

a(r) = 1/2π ∫0A(q)J0(rq)qdq                                            (30)

Dạng biến đổi Fourier của một tín hiệu 2 chiều có tính đối xứng vòng là một hàm của biến duy nhất là tần số dài, q. Sự phụ thuộc của tần số góc ξ đã không còn. Hơn nữa, nếu a(x,y) = a(r) là hàm số thực thì nó sẽ mặc nhiên là hàm chẵn do tính đối xứng vòng. Theo Phương trình (19), A(q) cũng sẽ là hàm số thực và chẵn.

3.4.3 Ví dụ về các tín hiệu 2 chiều cùng dạng biến đổi của chúng

Bảng 4 cho ta thấy một số tín hiệu cơ bản và hữu ích cùng với các biến đổi Fourier 2 chiều của chúng. Khi dụng các dạng cho trong bảng trong phần còn lại của chương này, ta sẽ gọi biểu thức trong miền không gian là hàm rải điểm (point spread function, PSF) hay phản hồi xung 2 chiều (2D impulse response) và dạng biến đổi Fourier của nó là hàm biến đổi quang học (optical transfer function, OTF), hay đơn giản là hàm biến đổi. Hai tín hiệu tiêu chuẩn được dùng trong bảng này là u(•), và hàm bậc đơn vị, và J1(•), hàm Bessel dạng thứ nhất. Các tín hiệu đối xứng vòng được coi như là các hàm theo r như trong PT (28).

image image image image image image image image

Bảng 4. Các ảnh 2 chiều cùng dạng biến đổi Fourier của chúng

2 phản hồi

Filed under Cơ sở

2 responses to “Chương 3: Các công cụ (Phần 1)

  1. Pingback: Chương 1: Giới thiệu chung | Blog của Chiến

  2. Một loạt các cặp đôi công thức trong mục “Những đặc tính của biến đổi Fourier” bị thiếu dấu cách ngăn cách giữa chúng. Tôi đã sửa lại, thành thật xin lỗi các bạn!

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s