Chương 3: Các công cụ (Phần 2)

Trở về Mục lục cuốn sách

3.5 Các đặc trưng thống kê

Trong xử lý ảnh người ta thường dùng các đặc trưng thống kê đơn giản đối với ảnh và ảnh con. Kí hiệu của một đặc trưng thống kê gắn liền với khái niệm một dạng phân bố xác suất, và thường là phân bố biên độ. Đối với một miền cho trước—mà có thể được coi như toàn bộ ảnh—ta có thể định nghĩa hàm phân bố xác suất của độ sáng trong miền đó và hàm mật độ xác suất của độ sáng trong miền. Ở đây ta coi như đang làm việc với ảnh a[m,n].

3.5.1 Hàm phân bố xác suất của độ sáng

Hàm phân bố xác suất, P(a), là xác suất mà một độ sáng chọn trong một vùng sẽ nhỏ hơn hoặc bằng một giá trị độ sáng a cho trước. Khi a tăng từ -∞ lên +∞, P(a) sẽ tăng từ 0 lên 1. P(a) có tính đồng biến, không giảm theo a, và do đó dP/da ≥ 0.

3.5.2 Hàm mật độ xác suất của độ sáng

Xác suất để một độ sáng trong miền rơi vào khoảng giữa a+ Δa, khi cho trước hàm phân bố xác suất P(a), có thể cho bởi biểu thức p(aa trong đó p(a) là hàm mật độ xác suất:

\displaystyle{ p(a)\Delta a = \left(\frac{dP(a)}{da}\right) \Delta a }           (31)

Vì tính chất đơn điệu, không giảm của P(a) mà ta có:

P(a) ≥ 0 và ∫–∞+∞p(a)da = 1                  (32)

Với ảnh có các biên độ sáng đã phân lượng (tức là rời rạc hóa thành số nguyên), có thể hiểu Δa là bề rộng của khoảng độ sáng được phân chia. Ta sẽ giả định rằng các khoảng chia này đều nhau. Hàm mật độ xác suất độ sáng thường được ước tính bằng cách đếm số lần mà mỗi độ sáng xuất hiện trong miền, để lập ra một bảng tần số, h[a]. Bảng tần số này có thể được chuẩn hóa sao cho tổng diện tích dưới biểu đồ tần số vẽ ra phải bằng 1 (PT (32)). Nói cách khác, p[a] cho một miền là số các điểm ảnh được đếm, Λ, được chuẩn hóa, trong một vùng mà có độ sáng phân lượng a:

\displaystyle{ p[a] = \frac{1}{\Lambda} h[a]}   với   \Lambda =\sum_a h[a]     (33)

Hàm phân bố xác suất độ sáng của ảnh Hình 4a được chỉ ra như Hình 6a. Biểu đồ tần số độ sáng (chưa được chuẩn hóa) của Hình 4a, vốn tỉ lệ với hàm mật độ xác suất độ sáng ước tính được chỉ ra ở Hình 6b. Độ cao của biểu đồ này tương ứng với số điểm ảnh có độ sáng cho trước.

image
Hình 6. (a) Hàm phân bố độ sáng của Hình 4a với cực tiểu, trung vị, cực đại được chỉ ra. Hãy đọc các mục tiếp theo để nắm được ý nghĩa các đại lượng này. (b) Biểu đồ độ sáng của Hình 4a.

Cả hàm phân bố và biểu đồ độ sáng được xác định cho một vùng ảnh đều là đặc trưng thống kê của miền đó. Cần nhấn mạnh rằng cả P[a]p[a] phải được coi là những ước lượng của các phân bố có thực khi chúng được tính từ một vùng cụ thể. Nghĩa là, ta coi từng ảnh hoặc vùng ảnh như là một biểu hiện của những quá trình ngẫu nhiên liên quan đến sự hình thành ảnh hoặc vùng đó. Tương tự như vậy, những đặc trưng thống kê dưới đây phải được coi như các ước lượng như những thông số [của quá trình ngẫu nhiên] bên trong.

3.5.3 Trị trung bình

Độ sáng trung bình của một vùng được định nghĩa là trị trung bình mẫu của các độ sáng điểm ảnh trong vùng đó. Trị trung bình, ma các độ sáng của Λ điểm ảnh trong một vùng \mathfrak{R} được cho bởi:

\displaystyle{ m_a = \frac{1}{\Lambda} \sum_{(m,n)\in \mathfrak{R}} a[m,n]}           (34)

Mặt khác, ta có thể dùng công thức dựa trên biểu đồ độ sáng (chưa được chuẩn hóa), h(a) = Λ •p(a), với các giá trị độ sáng rời rạc a. Điều này dẫn đến:

\displaystyle{m_a = \frac{1}{\Lambda} \sum_{a} a \bullet h[a]}          (35)

Độ sáng trung bình, ma, là ước lượng của tham số kì vọng, μa của độ sáng bên trong phân bố xác suất độ sáng.

3.5.4 Độ lệch chuẩn

Ước lượng không chệch của độ lệch chuẩn sa của độ sáng trong một vùng (\mathfrak{R}) với Λ điểm ảnh được gọi là độ lệch chuẩn của mẫu và được cho bởi:

\displaystyle{s_a = \sqrt{\frac{1}{\Lambda - 1} \sum_{m,n\in \mathfrak{R}} \left( a[m,n] - m_a\right)^2 } } = \displaystyle{\sqrt{\frac{\sum_{m,n\in \mathfrak{R}} a^2 [m,n] - \Lambda m_a^2 } {\Lambda - 1} }}          (36)

Bằng công thức của bảng tần số ta thu được:

\displaystyle{s_a = \sqrt{\frac{ \left( \sum_a a^2 [m,n] \bullet h[a] \right) - \Lambda \bullet m_a^2 } {\Lambda - 1} }}      (37)

Độ lệch chuẩn, sa, là một ước lượng cho σa của phân bố xác suất độ sáng.

3.5.5 Hệ số biến thiên

Đại lượng vô hướng hệ số biến thiên (coefficient of variation, CV) được định nghĩa là:

CV = sa / ma × 100%

3.5.6 Số phần trăm

Số phần trăm, p%, của một phân bố độ sáng chưa phân lượng được định nghĩa là giá trị a của độ sáng sao cho:

P(a) = p%

hay tương đương với

-∞a p(α)dα = p%           (39)

Ba dạng trường hợp đặc biệt mà ta thường gặp trong xử lý ảnh gồm có:

  • 0%     giá trị nhỏ nhất trong vùng
  • 50%     giá trị trung vị trong vùng
  • 100%     giá trị lớn nhất trong vùng

Cả ba giá trị này đều có thể được xác định từ Hình 6a.

3.5.7 Số đông

Số đông của một dạng phân bố là giá trị độ sáng xuất hiện thường xuyên nhất. Không có gì đảm bảo rằng tồn tại một số đông, hoặc số đông đó là duy nhất.

3.5.8 Tỉ số tín hiệu trên nhiễu

Tỉ số tín hiệu trên nhiễu (signal-noise-ratio, SNR), có thể được định nghĩa theo vài cách khác nhau. Nhiễu được đặc trưng bởi độ lệch chuẩn của nó, sn. Đặc trưng của tín hiệu có thể khác. Nếu ta biết tín hiệu nằm giữa hai giới hạn amin ≤ a ≤ amax, thì SNR được định nghĩa bởi [PT (40)]

Theo tín hiệu bị chặn—         \displaystyle{ SNR = 20 \log_{10} \left(\frac{a_\text{max} - a_\text{min}}{s_n}\right) dB }    (40)

Nếu tín hiệu không bị chặn nhưng có một phân bố thống kê thì có hai định nghĩa khác:

Tín hiệu có tính thống kê

tín hiệu và nhiễu tương hỗ               \displaystyle{ SNR = 20 \log_{10} \left( \frac{m_a}{s_n} \right) dB }         (41)

tín hiệu và nhiễu độc lập              \displaystyle{ SNR = 20 \log_{10} \left( \frac{s_a}{s_n} \right) dB }              (42)

trong đó masa đã được định nghĩa từ trước.

Các đặc trưng thống kê cho vùng khoanh tròn trong Hình 7 được chỉ ra trên bảng 5.

image

Hình 7. Vùng cần xét đến được khoanh tròn


Đặc trưng...... Ảnh.... Vùng
Trung bình.... 137,3 . 219,3
Độ lệch chuẩn.. 49,5 ... 4,0
Cực tiểu....... 56 ... 202
Số trung vị... 141 ... 220
Cực đại....... 241 ... 226
Số đông........ 62 ... 220
SNR (db).. (không) .... 33,3

Bảng 5. Các đặc trưng thống kê cho Hình 7.

Một phép tính SNR cho toàn bộ hình dựa theo PT (40) không có được trực tiếp. Các sự biến động về độ sáng trong hình đã dẫn đến giá trị s lớn (= 49,5) nói chung không phải do nhiễu động mà do sự biến đổi của thông tin từ ảnh. Bằng cách khanh vùng ta đã có thể tính SNR. Ta có thể dùng sR (=4,0) và khoảng động, amaxamin ( = 241 – 56) với ảnh để tính SNR cho toàn ảnh (=33,3 dB). Các giả thiết ngầm gồm có: 1) tín hiệu gần như không đổi trong vùng và vì vậy sự dao động của độ sáng trong vùng là do nhiễu, và 2) nhiễu đồng đều trong toàn ảnh với độ lệch chuẩn cho bởi sn=sR.

3.6 Biểu diễn đường biên

Khi xử lý một vùng hoặc đối tượng, ta có một số cách biểu diễn cô đọng giúp cho việc đo đạc và thao tác trên đối tượng đó. Với mỗi cách ta đều giả sử đã có ảnh đối tượng trong Hình 8a,b. Ta có một số kĩ thuật để biểu diễn vùng hoặc đối tượng bằng cách miêu tả đường biên của nó.

3.6.1 Mã chuỗi

Cách biểu diễn này dựa trên nghiên cứu của Freeman.1 Chúng ta đi dọc đường biên theo chiều thuận kim đồng hồ và ghi lại hướng khi di chuyển từ một điểm này sang điểm ảnh kế tiếp. Để hợp với cách làm quy ước với mã chuỗi ta sẽ xét một điểm ảnh trên đường biên như là điểm ảnh thuộc đối tượng mà có một điểm ảnh nền bất kì xuất hiện trong số 4 điểm ảnh kề với nó. Xem các Hình 3a và 8c.

Các con số ứng với 8 hướng có thể được gọi là mã chuỗi, và với x là vị trí của điểm ảnh hiện tại thì nói chung các mã được định nghĩa như sau:

Mã chuỗi = \begin{array}{ccc}  3 & 2 & 1 \\  4 & x & 0 \\  5 & 6 & 7 \end{array}                  (43)

image

Hình 8. Vùng (được tô màu) khi chuyển từ dạng (a) liên tục sang (b) rời rạc và được biểu diễn dưới dạng (c) đường biên hoặc (d) các dải đan xen nhau.

3.6.2 Các đặc tính của mã chuỗi

  • Mã số chẵn {0, 2, 4, 6} ứng với các hướng ngang và dọc; mã số lẻ {1, 3, 5, 7} ứng với các hướng chéo.
  • Mỗi mã có thể coi là một bội số lần 45 ∘  của góc quay để ta di chuyển từ một điểm ảnh tới điểm ảnh kế tiếp trên đường biên.
  • Tọa độ tuyệt đối [m,n] của điểm ảnh đầu tiên trên đường biên (chẳng hạn chọn điểm trên cùng bên trái) cùng với mã chuỗi của đường biên sẽ cho ta số liệu mô tả trọn vẹn đường biên hình học rời rạc của vùng.
  • Khi có sự thay đổi giữa hai mã số chuỗi kết tiếp thì tại đó đường biên đổi hướng. Điểm này được định nghĩa là một góc.

3.6.3 Mã mạch

Một cách khác với mã chuỗi dùng để mã hóa đường biên là không dùng các điểm ảnh nằm ở viền của đối tượng cũng chẳng dùng các điểm ảnh trên nền sát đối tượng, mà dùng đường phân chia giữa chúng (hình dung như “mạch” giữa các viên gạch). Điều này được minh họa qua phần phóng to của Hình 8 lên Hình 9.

image

image

Hình 9. (a) Đối tượng trong đó có phần được nghiên cứu. (b) Các điểm ảnh đường viền dùng trong mã chuỗi được tô thành các màu sẫm hơn. Đường mạch được chỉ ra dưới dạng nét đen đậm.

Mã mạch này có thể được coi là một mã chuỗi nhưng chỉ có 4 hướng có thể chứ không phải 8:

Mã mạch = \begin{array}{ccc}  & 1 & \\  2 & x & 0 \\  & 3 & \end{array}                       (44)

Mã chuỗi cho phần được phóng đại (Hình 9b) từ trên xuống dưới là {5, 6, 7, 7, 0}. Mã mạch là {3, 2, 3, 3, 0, 3, 0, 0}.

3.6.4 Mã dải

Dạng biểu diễn thứ ba được dựa trên việc mã hóa các điểm ảnh nối tiệp dọc theo một hàng—một dải—trên đối tượng bằng cách chỉ ra các vị trí đầu và kết thúc của dải. Các dải như vậy được minh họa trên Hình 8d. Có một số cách lựa chọn để định nghĩa được chính xác được các vị trí đầu và cuối nói trên. Việc chọn cách nào còn tùy theo ứng dụng, và ta sẽ không trình bày đến ở đây .


  1. Freeman, H., Boundary encoding and processing, in Picture Processing and Psychopictorics, B.S. Lipkin and A. Rosenfeld, Editors. 1970, Academic Press: New York. p. 241-266.
Advertisements

1 Phản hồi

Filed under Cơ sở

One response to “Chương 3: Các công cụ (Phần 2)

  1. Pingback: Chương 1: Giới thiệu chung | Blog của Chiến

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s