Chương 3: Tích phân của các PVT (Phần 2)

Trở về Mục lục cuốn sách

Cơ học về đường bay của bóng chày

Bóng chày là môn thể thao chuyên nghiệp lâu đời nhất ở Mỹ. Nó là một trò chơi rất tinh tế (cũng như cricket!) với lực lượng cổ động viên đông đảo, suốt hơn 100 năm. Nó cũng gây thích thú cho các nhà vật lý—một phần là vì nhiều nhà vật lý cũng là cổ động viên cho môn thể thao này, mặt khác là do nó tuân theo những nguyên tắc vật lý chính xác. Thật ra, có nhiều cuốn sách và bài báo viết về cơ chế vật lý xoanh quanh môn bóng chày hơn bất kì môn thể thao nào khác.

Quả bóng chày được tạo thành bằng cách quấn sợi quanh một quả cầu bấc. Sau đó quả bóng sẽ được phủ bởi hai miếng da bò màu trắng quặp vào nhau và khâu chặt lại. Khối lượng và chu vi của một quả bóng chày chuẩn lần lượt là 5 oz và 9 in, hay 150 g và 23 cm. Trong những trận đấu ở liên đoàn lớn, quả bóng được ném bay một quãng đường dài 60 feet 6 inches (18,44 m) về phía người vụt, với vận tốc điển hình trong khoảng từ 60 đến 100 dặm/giờ (khoảng 30 đến 45 m/s). Người hâm mộ biết rõ có rất nhiều cách ném khác nhau. “Sliders” là cách ném lái bóng về hai bên. “Curveballs” không những lái sang bên, mà còn hạ xuống một cách nhanh khác thường. Ngược lại, “fastballs” bóng hạ xuống chậm một cách khác thường. Cuối cùng, cách ném bí hiểm “knuckleball” có thể làm bóng lượn uốn éo trong khi nó bay về phía người vụt. Làm sao mà tất cả những hiện tượng kì lạ này xuất hiện? Ta hãy khảo sát xem.

Lực cản do không khí

Môt quả bóng chày đang bay chịu tác dụng của ba lực. Thứ nhất là trọng lực, làm quả bóng có gia tốc theo phương thẳng đứng xuống dưới với g = 9,8 m/s–2. Thứ hai là lực cản không khí làm cản chuyển động của quả bóng trong quá trình bay. Thứ ba là lực Magnus cho phép quả bóng lượn theo phương ngang. Ta sẽ xét kĩ hai lực sau cùng.

Như đã biết rõ, lực cản không khí tác dụng lên một vật thể chuyển động rất chậm qua một chất lưu [chất lỏng/khí] có tính nhớt, nó tỉ lệ thuận với vận tốc của vật so với chất lưu. Chẳng hạn, một quả cầu có bán kính r chuyển động với vận tốc v trong một chất lưu có độ nhớt η thì sẽ chịu một lực cản cho bởi định luật Stokes:1

f= 6πηrv.

Nếu bạn đã thử làm lại thí nghiệm nhỏ giọt dầu của Millikan, bạn có thể nhớ lại được rằng đây là lực cản chính tác dụng lên một giọt dầu nhỏ rơi trong không khí. Tuy nhiên, với hầu hết các quỹ đạo của vật thể vĩ mô vạch ra trong không khí, thành phần lực trên sẽ trở nên bé nhỏ so với một thành phần thứ hai vốn tỉ lệ thuận với v2.

Nguồn gốc gây ra thành phần lực thứ hai này cũng dễ hiểu. Ở vận tốc đủ nhỏ để định luật Stokes còn đúng, luồng khí có thể thổi một cách trơn tru qua vật thể đang chuyển động. Tuy nhiên, khi vận tốc tăng cao, chuyển động của vật thể quá nhanh để hiện tượng này có thể xảy ra. Thay vì vậy, vật thể sẽ đẩy bật không khí ra khỏi đường đi của nó. Tổng khối lượng không khí mà vật thể tiếp xúc tỏng mỗi giây là ρvA, trong đó ρ là mật độ không khí, v là tốc độ của vật thể, còn A là diện tích mặt cắt ngang của vật thể. Giả sử rằng [điều này có vẻ hợp lý] vật thể truyền cho khối khí này một vận tốc v vốn tỉ lệ thuận với v. Tốc độ tăng của động lượng khối khí bằng với lực cản tác dụng lên vật thể, xấp xỉ bằng fD = ½CD(vAv2, trong đó hệ số cản, CD(v), là một đại lượng không thứ nguyên.

Lực cản tác dụng lên một vật thể bay trong không khí luôn có hướng ngược lại với hướng chuyển động tức thời của vật. Vì vậy, véc-tơ lực cản có dạng
fD= –½CD(vAvv.               (1.8)

Khi vật thể di chuyển trong không khí nó để lại phía sau một vùng khuyết với luồng rối. Giá trị của hệ số cản CD liên quan mật thiết đến đặc tính của vùng khuyết này. Rối động trong chất lưu được đặc trưng bởi một đại lượng không thứ nguyên gọi là số Reynolds:2

Re = ρvd/η.

Ở đây, d là cỡ chiều dài tiêu biểu (chẳng hạn, đường kính) của vật thể. Với số Reynolds đủ nhỏ, luồng khí ngay ở trên mặt vật thể còn trơn tru, mặc dù có sự tồn tại của vùng khuyết rối, và CD có giá trị gần như là hằng số và chỉ phụ thuộc vào hình dạng vật thể. Tuy nhiên, khi số Re vượt quá một giá trị tới hạn—ứng với 2 × 105 đối với vật thể trơn nhẵn—thì dòng khí ngay trên bề mặt vật thể sẽ trở nên rối loạn, và hệ số cản giảm xuống; nghĩa là vật thể dễ dàng trườn qua không khí khi luồng thổi quanh nó trở nên hoàn toàn rối. Ở chế độ này khi số Reynolds lớn, hệ số cản thường giảm nhanh chóng xuống từ 3 đến 10 lần, khi Re tăng, và rồi ổn định về một giá trị mới, gần như không đổi. Lưu ý rằng số Reynolds tói hạn nhỏ hơn đáng kể so với 2 × 105 ở những vật thể có bề mặt nhám. Có vẻ vô lý, nhưng một vật thể nhám khi di chuyển trong không khí thường sẽ chịu ít cản trở so với một vật thể nhẵn. Sự phụ thuộc điển hình của hệ số cản vào số Reynolds được phác họa trong Hình fcd.

c_d
Sự phụ thuộc điển hình của hệ số cản, CD, vào số Reynolds, Re.(fcd)

Kết quả đo ống gió cho thấy hệ số cản là một hàm phụ thuộc chặt chẽ vào tốc độ của quả bóng chày, như chỉ ra trên Hình fbaseball. Với vận tốc chậm, hệ số cản gần như không đổi. Tuy nhiên, khi vận tốc tăng, CD giảm một cách đáng kể, và chỉ còn khoảng một nửa, khi vận tốc rất lớn. Biểu hiện này cũng giống như điều được mô tả trên đây. Sự sụt giảm đột ngột của hệ số cản được đánh dấu bởi một sự chuyển tiếp từ dòng tầng sang dòng rối ở lớp khí sát mặt quả bóng. Vận tốc tới hạn (chính xác hơn là số Reynolds tới hạn) tại đó sự chuyển tiếp này xảy ra thì phụ thuộc vào đặc tính của bề mặt này. Do đó, với một quả bóng chày hoàn toàn trơn nhẵn, điểm chuyển tiếp sẽ nằm xa hơn nhiều so với khả năng của bất cứ cầu thủ ném bóng mạnh nhất. Ngược lại, điểm chuyển tiếp nằm ở vận tốc tương đối thấp nếu bề mặt quả bóng sần sùi. Thực tế, những đường khâu gồ lên đã làm cho quả bóng vốn trơn phẳng có điểm chuyển tiếp nằm ở mức vừa phải, mà người ném ở trình độ liên đoàn có thể thực hiện được. Lưu ý rằng độ lớn của lực cản rất đáng kể—nó thường vượt quá trọng lực khi quả bóng vượt quá vận tốc 95 dặm/giờ.

đường bay quả bóng chày
Sự biến đổi của hệ số cản, CD, theo vận tốc, v, của các quả bóng chày có bề mặt bình thường, nhám, và nhẵn. Nguồn: The physics of baseball, R.K. Adair (Harper & Row, New York NY, 1990). (fbaseball)

Những luận điểm trên dẫn đến một loạt nhận xét thú vị. Thứ nhất, các đường khâu gồ lên ở mặt quả bóng có ảnh hưởng quan trọng đến thuộc tính khí động học của nó. Không có đường khâu này, lực cản không khí tác động lên quả bóng sẽ tăng lên đáng kể. Thật ra, có lẽ các tuyển thủ liên đoàn không thể ném kiểu fastball đạt tốc độ 95 dặm/giờ nếu như quả bóng hoàn toàn nhẵn. Mặt khác, một quả bóng sần sùi còn ít chịu lực cản hơn một quả bóng thường. Có lẽ ném những quả bóng như vậy sẽ bay nhanh hơn—đó là lý do tại sao bóng phải luôn được thay mới trong những trận đấu quan trọng.

Giordano3 đã xây dựng công thức hữu ích sau để tính lực cản tác dụng lên quả bóng chày:

fD/m = – F(v)vv,

trong đó

F(v) = 0.0039 + 0.0058 / (1 + exp[(vvd)/ Δ]).

Ở đây, vd = 35 m/s and Δ = 5 m/s.

Lực Magnus

Ta vẫn chưa giải thích bằng cách nào mà quả bóng chày có thể lượn cong khi đang bay. Các nhà vật lý học trong thế kỉ 19 không tính đến hiệu ứng này, và đã cố gắng bỏ qua nó, coi đó là “ảo giác.” Hóa ra là hiện tượng lạ này có thể thấy qua những lần ném trong trận đấu liên đoàn trong đó bóng có xu hướng xoáy rất mạnh—cỡ 1500 vòng/phút.

Nguồn gốc của lực khiến cho quả bóng xoáy có thể lượn vòng sẽ được giải thích ngay khi ta gợi nhớ lại rằng lực cản tác dụng lên một quả bóng chày sẽ tăng lên khi tốc độ tăng.4 Với một quả bóng quay quanh trục vuông góc với hướng chuyển động, vận tốc quả bóng so với không khí là khác nhau trên từng phía nửa mặt đối diện của quả bóng, như trên Hình fmagnus. Từ biểu đồ, có thể thấy được mặt dưới của quả bóng có vận tốc tương đối so với không khí lớn hơn mặt trên. Điều này dẫn tới một lực cản lớn hơn tác động vào mặt dưới so với mặt trên. Nếu ta hình dung lực cản như gây ra một áp suất lên quả bóng thì sẽ dễ thấy được rằng khi hai lực cản không bằng nhau tác dụng lên hai mặt sẽ tổng hợp nên một thành phần lực tác dụng hướng lên. Lực này—có tên gọi là lực Magnus, được đặt theo tên nhà vật lý người Đức, Heinrich Magnus vì đã tìm ra nó vào năm 1853—là thành phần lực chủ đạo gây bởi chuyển động quay tác dụng lên quả bóng chày. Lực Magnus có thể được viết dưới dạng

fM = S(v)ω × v,

trong đó ω là véc-tơ vận tốc góc của quả bóng. Theo Adair và Giordano, có thể lấy

B = S/m = 4,1 × 10–4

đối với quả bóng chày. Lưu ý rằng B là một đại lượng không thứ nguyên. Độ lớn của lực Magnus cỡ khoảng bằng 1/3 trọng lực tác dụng lên quả bóng trong kiểu ném “curveball”.

lực Magnus
Nguồn gốc phát sinh lực Magnus với quả bóng có bán kính r, chuyển động với vận tốc v, và quay với vận tốc góc ω quanh trục vuông góc với hướng chuyển động của nó. (fmagnus)

Mô phỏng đường bay bóng chày sau khi ném

Ta hãy dùng một hệ tọa độ trong đó x để đo độ chuyển dời hướng từ người ném đến người vụt, y đo độ chuyển dời theo phương ngang qua hai bên (một chuyển dời theo hướng +y tương ứng với chuyển dời về phía tay phải người vụt), và z đo độ chuyển dời theo phương thẳng đứng (một chuyển dời theo hướng +z ưng với dịch chuyển lên trên). Theo hệ tọa độ này, các phương trình chuyển động của quả bóng chày có thể được viết dưới hệ PVT bậc nhất sau:

dx/dt = vx,
dy/dt = vy,
dz/dt = vz,
dvx/dt = – F(v)vvx+Bω(vzsinφ – vycosφ),
dvy/dt = – F(v)vvy+Bωvxcosφ,
dvz/dt = – g – F(v)vvzBωvxsinφ.

Ở đây, vận tốc góc của quả bóng được viết là ω = ω(0, sinφ, cosφ). Các điều kiện biên phù hợp tại t = 0 là:

x(t=0) = 0,
y(t=0) = 0,
z(t=0) = 0,
vx(t=0) = v0cosθ
vy(t=0) = 0,
vz(t=0) = v0sinθ,

trong đó v0 là vận tốc ban đầu của cú ném, còn θ là góc ném ban đầu. Lưu ý rằng, khi viết các phương trình trên, ta đã bỏ qua độ giảm chuyển động quay của quả bóng trong quá trình bay.

Hệ phương trình trên được giải theo cách số trị bằng phương pháp Runge-Kutta bậc bốn với bước tính cố định. Để cho tiện, độ dài bước, h, được diễn tả như một phần trong thời gian bay dự kiến của quả bóng, l/v0, trong đó l = 18,44 m là khoảng cách theo phương ngang giữa người ném và người vụt. Do đó, 1/h xấp xỉ bằng số bước cần để lấy tích phân để xác định đường bay.

Đến lúc này, ta cần miêu tả cách phân loại các kiểu ném bóng điển hình theo hướng của trục quay. Hình fpitch chỉ ra các hướng quay của các cú ném khác nhau từ một người ném thuận tay phải, khi nhìn từ phía người vụt. Rõ ràng là các hướng đó sẽ quay ngược đi đối với người ném thuận tay trái. Lưu ý rằng từ PT (emagnus), các mũi tên ở Hình fpitch chỉ ra cả hai hướng quay của quả bóng và hướng của lực Magnus.

hướng quay
Hướng quay, nhìn từ phía người vụt, đối với các kiểu ném khác nhau từ người ném thuận tay phải. Mũi tên để chỉ hướng quay, đồng thời là hướng của lực Magnus. Nguồn The physics of baseball, R.K. Adair (Harper & Row, New York NY, 1990).(fpitch)

Hình fslider cho thấy đường bay từ một cú ném “slider” của người thuận tay phải, được tính theo cách số trị. Bóng được ném sao cho trục quay của nó chỉ thẳng đứng lên trên, vốn là hướng quay tạo bởi chuyển động thuận tay (theo chiều kim đồng hồ) từ tay phải người ném. Lực Magnus làm cho quả bóng lượn ngang ra xa khỏi người vụt tay phải (tức là theo hướng +y). Có thể thấy từ hình vẽ, rằng ứng với quả bóng bay nhanh 85 dặm/giờ và quay 1800 vòng 1/phút thì sự dịch chuyển theo bề ngang là hơn 1 foot (30 cm). Dĩ nhiên, một cú ném slider xuất phát từ tay trái sẽ cong hướng về phía người vụt tay phải.

đường bay cú ném slider phải
Đường bay số trị của cú ném “slider” từ tay phải người ném. Các đường cong liền nét và đứt nét lần lượt biểu diễn cho độ dịch chuyển theo phương đứng và phương ngang của quả bóng. Các tham số của cú ném là v0 = 85 dặm/giờ, θ = 1, ω = 1800 vòng/phút, φ = 0, và h = 1 × 10–4. Quả bóng bay qua đĩa với vận tốc 76 dặm/giờ khoảng 0,52 giây sau khi rời tay người ném.(fslider)

Hình fcurve cho thấy đường bay từ một cú ném “curveball” của người thuận tay phải. Quả bóng được ném sao cho trục quay của nó nhìn từ phía người vụt, hướng lên trên, đồng thời ngiêng sang phải. Động tác ném của cú “curveball” thực ra có phần tự nhiên hơn so với cú “slider”. Lực Magnus tác dụng lên bóng “curveball” làm nó dịch chuyển cả về phía bên lẫn xuống dưới. Do đó, dù cú “curveball” không làm bóng liệng sang bên nhiều như cú “slider” nhưng bóng bị chúi xuống rất nhanh, khiến rất khó vụt. Độ hạ thấp của một cú ném “curveball” điển hình sẽ thấy rõ khi so sánh các Hình fslider và fcurve.

đường bay cú ném curve phải
Đường bay số trị của cú ném “curveball” từ tay phải người ném. Các đường cong liền nét và đứt nét lần lượt biểu diễn cho độ dịch chuyển theo phương đứng và phương ngang của quả bóng. Các tham số của cú ném là v0 = 85 dặm/giờ, θ = 1, ω = 1800 vòng/phút, φ = 45, và h = 1 × 10–4. Quả bóng bay qua đĩa với vận tốc 76 dặm/giờ, khoảng 0,52 giây sau khi rời tay người ném.(fcurve)

Như ta đã đề cập tới, một cú ném lượn cong về phía người vụt thì khó vụt hơn so với cú ném lượn ra xa. Thật ra người ném tay phải vẫn có thể ném một cú cong về phía người vụt thuận tay phải. Cú ném như vậy có tên là “screwball.” Thật không may, để ném được cú screwball thì cổ tay phải vặn theo cách rất không tự nhiên, và khó thực hiện được động tác này. Hình fscrew cho thấy đường bay của trái bóng từ tay phải người ném, tính theo phương pháp số trị. Quả bóng được ném sao cho trục quay của nó, nhìn từ người vụt, hướng lên trên và nghiêng về bên trái. Lưu ý rằng đường bay hạ thấp nhanh chóng—như trong cú ném curveball—nhưng có sự dịch chuyển sang ngang theo hướng ngược lại.

đường bay cú ném screwball phải
Đường bay số trị của cú ném “screwball” từ tay phải người ném. Các đường cong liền nét và đứt nét lần lượt biểu diễn cho độ dịch chuyển theo phương đứng và phương ngang của quả bóng. Các tham số của cú ném là v= 85 dặm/giờ, θ = 1 ∘ , ω=1800 vòng/phút, φ=135 ∘ , và h = 1 × 10–4. Quả bóng bay qua đĩa với vận tốc 76 dặm/giờ khoảng 0,52 giây sau khi rời tay người ném.(fscrew)

Có lẽ cách ném bóng lợi hại nhất có tên là “fastball.” Bản thân cái tên này cho thấy bóng được ném cực nhanh—điển hình là khoảng 95dặm/giờ. Cử động tay tự nhiên để ném quả này có xu hướng truyền một độ vặn ngược đáng kể lên quả bóng. Vì vậy lực Magnus tác đụng lên quả bóng trong cú ném ‘fastball’ có một thành phần lớn hướng lên, làm chậm độ rơi của nó. Hình ffast cho thấy đường bay quả bóng trong cú ném ‘fastball’ từ tay phải. Quả bóng được ném sao cho trục quay của nó, nhìn từ phía người vụt, hướng xuống dưới và nghiêng sang trái. Lưu ý rằng độ hạ thấp của quả bóng không nhiều. Điều này một phần là do nó bay đến chỗ người vụt nhanh hơn, nhưng cũng do lực Magnus có một thành phần hướng lên rất đáng kể. Kiểu ném này thường được gọi là “fastball nâng” vì người vụt thường khẳng định rằng quả bóng nâng cao lên khi bay về phía họ. Thực ra, đây chỉ là ảo giác gây bởi tốc độ hạ thấp của quả bóng không bằng mức thông thường.

đường bay cú ném fastball phải
Đường bay số trị của cú ném “fastball” từ tay phải người ném. Các đường cong liền nét và đứt nét lần lượt biểu diễn cho độ dịch chuyển theo phương đứng và phương ngang của quả bóng. Các tham số của cú ném là v0 = 95 dặm/giờ, θ = 1, ω = 1800 vòng/phút, φ = 225, và h = 1 × 10–4. Quả bóng bay qua đĩa với vận tốc 86 dặm/giờ khoảng 0,46 giây sau khi rời tay người ném.(ffast)

Cú ném kiểu ‘knuckleball’

Có lẽ kiểu ném bóng chày hay nhất được gọi là “knuckleball.” Khác với những kiểu ném khác ta đã xét đến, ‘knuckleball’ là cú ném với vận tốc thấp (cỡ 65 dặm/giờ) trong đó quả bóng được cố ý ném với càng ít độ xoay càng tốt. Nhưng hóa ra knuckleball lại rất khó vụt vì chúng có đường bay luôn đổi hướng sang hai bên cạnh theo một cách không thể dự đoán được. Làm sao có thể có điều này xảy ra?

Chẳng hạn ta có một quả bóng không quay chút nào, và nó được đặt sao cho một đường khâu ở về một phía, còn phía kia là mặt nhẵn. Theo đó, như ở Hình  fbaseball, lực cản đối với mặt nhẵn sẽ lớn hơn với mặt khâu. Vì vậy, quả bóng sẽ chịu một lực hướng ngang về phía mặt khâu. Bây giờ giả sử quả bóng đang xoay nhẹ trong khi bay về phía người vụt. Khi bóng tiến về phía trước, hướng mặt của nó cũng thay đổi, và mặt khâu sẽ chuyển từ phía này sang phía khác, gây ra một lực ngang cũng chuyển từ mặt này sang mặt khác. Dĩ nhiên, nếu quả bóng quay đủ nhanh thì sự dao động về lực theo phương ngang này sẽ tự triệt tiêu. Tuy nhiên, với một quả bóng quay chậm, sự dao động này sẽ làm ảnh hưởng đáng kể đến đường bay của quả bóng.

Watts và Sawyer5 đã thực hiện đo đạc trong ống gió về lực phương ngang tác động lên quả bóng chày như một hàm của góc xác định hướng của quả bóng. Lưu ý rằng những đường khâu trên quả bóng chày sẽ đi qua mỗi điểm đúng bốn lần trong mỗi vòng quay của quả bóng quanh trục qua tâm của nó. Vì vậy, ta trông đợi rằng độ lớn lực phương ngang này sẽ có bốn cực đại và bốn cực tiểu mỗi khi quả bóng quay được một vòng. Đây chính là điều mà Watts và Sawyer đã quan sát được. Với trường hợp cú ném “knuckleball” 65 dặm/giờ, Giordano đã kết xuất được biểu thức hữu ích sau để tính lực theo phương ngang, là một hàm của góc định hướng, ϕ, từ số liệu của Watts và Sawyer:

fy/mg = G(ϕ) = 0,5[sin(4ϕ) – 0,25sin(8ϕ) + 0,08sin(12ϕ) – 0,025sin(16ϕ)].

Hàm G(ϕ) được vẽ trên Hình fglat. Lưu ý sự biến thiên rất nhanh của hàm này trong những khoảng ngắn nhất định của ϕ.

hàm độ lớn lực theo phương ngang
Hàm độ lớn lực theo phương ngang, G(ϕ), của cú ném ‘knuckleball’ 65 dặm/giờ.(fglat)

Dùng biểu thức trên, các phương trình chuyển động của bóng trong cú ném ‘knuckleball’ có thể được viết như một hệ PVT bậc nhất:

dx/dt = vx,
dy/dt = vy,
dz/dt = vz,
dvx/dt = –F(v)vvx,
dvy/dt = –F(v)vvy+gG(ϕ),
dvz/dt = –gF(v)vvz.
dϕ/dt = ω.

Lưu ý rằng ta đã thêm vào một phương trình chuyển động cho góc định hướng ϕ của quả bóng, vốn được giả sử quay với vận tốc góc không đổi ω, quanh một trục thẳng đứng. Ở đây ta bỏ qua lực Magnus, vốn được trông đợi sẽ rất nhỏ khi quả bóng quay chậm. Các điều kiện biên tại t = 0 là:

x(t=0) = 0,
y(t=0) = 0,
z(t=0) = 0,
vx(t=0) = v0cosθ
vy(t=0) = 0,
vz(t=0) = v0sinθ,
ϕ(t=0) = ϕ0,

trong đó v0 là vận tốc ban đầu của cú ném, θ là góc ném ban đầu, còn ϕ0 là góc định hướng ban đầu của quả bóng.

Hệ phương trình trên đã được giải theo cách số trị bằng phương pháp Runge-Kutta bậc bốn với bước tính cố định. Để cho tiện, độ dài bước h được biểu diễn dưới dạng một phần của thời gian bay của quả bóng, l/v0, trong đó l = 18,44 m là khoảng cách theo phương nằm ngang giữa người ném và người vụt. Do đó, 1/h xấp xỉ bằng số bước cần lấy tích phân để xác định đường bay.

đường bay cú ném knuckle phải
Các quỹ đạo số trị của cú ném ‘knuckleball’ với cùng vận tốc góc nhưng khác hướng ban đầu. Các đường liền nét, chấm, gạch dài, và gạch ngắn biểu thị độ dịch chuyển ngang của bóng lần lượt cho các trường hợp ϕ0 = 0, 22.5, 45, và 67.5. Các tham số khác của cú ném gồm có v0 = 65 dặm/giờ, θ = 4, ω=20 vòng/phút, và h = 1 × 10–4. Bóng bay qua đĩa với vận tốc 56 dặm/giờ vào khoảng 0,69 giây sau khi rời tay người ném. Quả bóng quay khoảng 83 trong khi nó di chuyển tự do. (fknuckle)

Hình fknuckle cho thấy độ chuyển dịch theo phương ngang của bốn lần ném kiểu ‘knuckleball’ với cùng vận tốc góc ω = 20 vòng/phút, nhưng có các góc hướng khởi đầu khác nhau. Lưu ý sự khác biệt rõ giữa những đường bay khasc nhau trên hình này. Rõ ràng là chỉ cần một thay đỏi khá nhỏ ở hướng ban đầu của quả bóng đã dẫn đến thay đổi lớn trong đường bay của nó. Vì lý do này, cú ném ‘knuckleball’ đặc biệt khó đoán được—cả người ném, người vụt và người bắt cũng không nói chắc được một trong những đường bóng trên dừng ở đâu. Khỏi cần nói thêm, các đội bóng chạy luôn xếp người bắt tốt nhất ở sau đĩa một khi đến lượt người có cú ném ‘knuckleball’.

quỹ đạo đường bay số trị cú ném knuckle
Quỹ đạo số trị của cú ném ‘knuckleball’. Các tham số trong cú ném này bao gồm v0 = 65 dặm/giờ, θ = 4, ϕ0 = 0, ω = 40 vòng/phút, và h = 1 × 10–4. Quả bóng bay qua đĩa với vận tốc 56 dặm/giờ vào khoảng 0,69 giây sau khi rời tay người ném. Quả bóng quay được khoảng 166 trong quá trình di chuyển tự do. (fknuckle1)

Hình fknuckle1 cho thấy độ dịch chuyển sang ngang của quả bóng khi cú ném ‘knuckleball’ có tốc độ quay hơi nhanh hơn trường hợp trước: ω = 40 vòng/phút. Lưu ý cách quả bóng “nhảy múa” rất lạ trong khi bay. Coi như sự phân biệt giữa cú đánh tốt và đánh hỏng chỉ là một khoảng cách bằng 1/4 inch giữa hai điểm gậy tiếp bóng, phải thấy rằng việc đánh tốt trước một cú ném kiểu như vậy thật là khó!


  1. Methods of theoretical physics, Vol. II, P.M. Morse, and H. Feshbach, (McGraw-Hill, New York NY, 1953).
  2. R.E. Reynolds, Phil. Trans. Roy. Soc. 174, 935 (1883).
  3. Computational physics, N.J. Giordano, (Prentice-Hall, Upper Saddle River NJ, 1997).
  4. Dù rằng hệ số cản, CD, giảm khi tốc độ tăng, lực cản, vốn tỉ lệ thuận với CDv2, sẽ luôn tăng.
  5. Aerodynamics of a knuckleball, R.G. Watts, and E. Sawyer, Am. J. of Phys. 43, 960 (1975).
Advertisements

2 phản hồi

Filed under Vật lý tính toán

2 responses to “Chương 3: Tích phân của các PVT (Phần 2)

  1. Pingback: Chương 1: Giới thiệu chung | Blog của Chiến

  2. Pingback: Chương 3: Tích phân của các PVT (Phần 1) | Blog của Chiến

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s