Chương 4: Con lắc hỗn loạn (Phần 2)

Trở lại Mục lục cuốn sách

Con đường dẫn tới Hỗn mang

Ta hãy trở lại Hình [f29], trong đó dõi theo sự tiến triển của một đường thu hút tuần hoàn lệch trái khi nhân tố chất lượng Q dần được nâng lên. Hãy nhớ lại là khi Q vượt quá một giá trị phân giới, khoảng 1,348, thì đường thu hút trải qua sự phân nhánh nhân đôi chu kì, chyển từ đường thu hút chu kì-1 sang chu kì-2. Sự phân nhánh này được biểu thị bởi phân nhánh đường cong trên Hình [f29]. Bây giờ ta hãy tìm hiểu xem điều gì xảy ra nếu ta tiếp tục tăng Q. Hình [f34] cơ bản là sự tiếp nối của Hình [f29]. Có thể thấy được rằng khi Q dần tăng lên, đường thu hút sẽ trải qua sự nhân đôi chu kì tại Q = 1,348, nhưng trước đây, nhưng sau đó tiếp tục trải qua một lần nhân đôi chu kì thứ hai (biểu thị bởi chỗ chia nhánh thứ hai trên đường cong) tại Q ≃ 1,370; và một lần phân nhánh thứ ba tại Q ≃ 1,375. Hiển nhiên là lần phân nhánh thứ hai chuyển đổi đường thu hút từ dạng chu kì-2 sang một đường thu hút chu kì-4 (và do đó hai đường cong tách rời nhau để hình thành nên 4 đường). Tương tự, lần phân nhánh thứ ba đã biến đổi đường thu hút chu kì 4 thành đường thu hút chu kì 8 (do đó 4 đường cong chia thành 8 đường). Không lâu sau lần phân nhánh thứ 3, các đường cong trên hình vẽ dường như bành trướng và hợp nhau lại để tạo thành một vùng gần như đen đặc. Như ta sẽ thấy, động thái này là biểu hiện cho sự bắt đầu hình thành sự hỗn loạn.

Hình 34. Tọa độ v của lát cắt Poincaré trên quỹ đạo tiệm cận thời gian được vẽ theo nhân tố chất lượng Q. Kết quả được tính theo cách số trị với A = 1,5 , ω = 2/3 , θ(0) = 0, v(0) = 0, Nacc  = 100, và φ = 0[f34]

Hình [f35] là sự phóng to của Hình [f34], cho ta thấy thêm chi tiết về sự hình thành nhiễu động. Sự phân nhánh từ chu kì-4 sang chu kì-8 có thể được thấy khá rõ ràng. Tuy nhiên, ta cũng có thể thấy sự phân nhánh từ chu kì-8 sang chu kì-16, tại Q ≃ 1,3755. Sau cùng, nếu quan sát cẩn thận, ta có thể thấy dấu hiệu của sự phân nhánh từ chu kì-16 sang chu kì-32, ngay trước khi bắt đầu có vùng đen đặc. Các Hình [f34] và [f35] dường như gợi cho ta thấy rằng sự hình thành hỗn loạn được khởi phát bởi một chuỗi vô hạn các phân nhánh nhân đôi chu kì.

Hình 35Hình 35. Tọa độ v của lát cắt Poincaré trên quỹ đạo tiệm cận thời gian được vẽ theo nhân tố chất lượng Q. Kết quả được tính theo cách số trị với A = 1,5 , ω = 2/3 , θ(0) = 0 , v(0) = 0 , Nacc  = 100 , và φ = 0[f35]

Bảng [tpd] cung cấp một số thông tin chi tiết về chuỗi các phân nhánh nhân đôi chu kì có trong các Hình [f34] và [f35]. Ta hãy giới thiệu một chỉ số phân nhánh n: phân nhánh chuyển từ chu kì-1 sang chu kì-2 ứng với n = 1; phân nhánh chuyển từ chu kì-2 sang chu kì-4 ứng với n = 2; và cứ như vậy. Đặt Qn là giá trị phân giới của nhân tố chất lượng Q, mà mỗi khi vượt quá thì xảy ra sự phân nhánh thứ n. Bảng [tpd] liệt kê các giá trị Qn, được xác định từ các Hình [f34] và [f35], với n = 1 đến 5. Cũng chỉ ra trên đó là tỉ số:

Fn = (Qn − 1 − Qn − 2) / (Qn − Qn − 1)

với n = 3 đến 5. Như ta đã thấy, Bảng [tpd] cung cấp bằng chứng khá thuyết phục rằng tỉ số này nhận một giá trị không đổiF = 4,69. Từ đó dẫn đến việc ta có thể ước tính được giá trị phân giới của Q cần thiết để “châm ngòi” cho phân nhánh thứ n theo công thức sau:

Qn = Q1 + (Q2 − Q1)∑ j = 0n − 2(1 / Fj), 

với n > 1. Lưu ý rằng khoảng cách (theo Q) giữa các phân nhánh giảm xuống nhanh chóng khi n tăng. Thực ra, công thức trên dự đoán một sự tích lũy các phân nhánh tại Q = Q, trong đó

Q = Q1 + (Q2 − Q1)∑ j = 0(1 / Fj) ≡ Q1 + (Q2 − Q1)(F / F − 1) = 1,3758. 

Lưu ý rằng điểm tích lũy mà chúng ta tìm được tương ứng gần như chính xác với điểm bắt đầu khởi phát vùng đen đặc trong Hình [f35]. Tại lúc Q vượt quá Q, ta trông đợi rằng đường thu hút sẽ được chuyển đổi về một đường thu hút chu kì-vô hạn thông qua một chuỗi vô hạn những phân nhánh nhân đôi chu kì. Một đường thu hút chu kì-vô hạn là đường thu hút tương ứng với chuyển động không bao giờ tự lặp lại, bất kể chúng ta có đợi bao lâu chăng nữa. Trong động lực học, chuyển động không có chu kì và bị giới hạn như vậy được gọi là hỗn loạn. Do đó, một đường thu hút chu kì-vô hạn đôi khi còn được gọi là đường thu hút hỗn loạn. Bây giờ, chuyển động chu kì-n đã được biểu diễn bởi n đường cong riêng rẽ trong Hình [f35]. Do đó, không ngạc nhiên là hỗn loạn (hay chuyển động chu kì-vô hạn) được biểu diễn bởi một số vô hạn các đường cong được hòa nhập vào nhau thành một vùng đen đặc.

Phân nhánh n Qn Qn − Qn − 1 Fn
chu kì-1 → chu kì-2  1
1,34870
chu kì-2 → chu kì-4 2 1,37003 0,02133
chu kì-4 → chu kì-8 3 1,37458 0,00455 4,69 ± 0,01
chu kì-8 → chu kì-16 4 1,37555 0,00097 4,69 ± 0,04
chu kì-16 → chu kì-32 5 1,37575 0,00020 4,9 ± 0,20

Bảng 2. Bậc thang nhân đôi chu kì.[tpd]

Ta hãy khảo sát sự bùng phát của hỗn loạn kĩ hơn một chút. Các Hình [f36]–[f39] cho thấy chi tiết chuyển động tiệm cận thời gian của con lắc ở nhiều giai đoạn khác nhau trong bậc thang nhân đôi chu kì nêu trên. Hình [f36] cho thấy chuyển động chu kì-4: lưu ý rằng lát cắt Poincaré gồm có 4 điểm, và tương ứng với nó là chuỗi các chuyển động quay tổng hợp trong mỗi chu kì của con lắc được lặp lại cứ 4 chu kì một lần. Hình [f37] cho thấy chuyển động chu kì-8: bây giờ lát cắt Poincaré gồm có 8 điểm, và chuỗi chuyển động quay sẽ tự lặp lại cứ 8 chu kì một lần. Hình [f38] cho thấy chuyển động chu kì-16: như ta trông đợi, lát cắt Poincaré gồm có 16 điểm, và chuỗi chuyển động quay sẽ tự lặp lại sau mỗi 16 chu kì. Cuối cùng, Hình [f39] cho thấy chuyển động hỗn loạn. Lưu ý rằng lát cắt Poincaré bây giờ bao gồm một bộ bốn đoạn thẳng liên tục, có lẽ được hợp thành từ một số vô tận các điểm (tương ứng với chu kì vô hạn của chuyển động hỗn loạn). Cũng lưu ý rằng, chuỗi tương ứng của các chuyển động quay tổng hợp trong mỗi chu kì không cho thấy biểu hiện rõ rệt gì là nó đã tự lặp lại chuyển động cả. Thật ra, chuỗi này trông giống hơn một trong số các chuỗi có tính chu kì trước đây, nhưng được cộng thêm một thành phần ngẫu nhiên nhỏ. Sự phát sinh chuyển động trông như ngẫu nhiên từ những phương trình chuyển động, như các PT ([e5.11]) và ([e5.12]), trong đó không chứa thành phần ngẫu nhiên hiển hiện nào là một trong những đặc điểm gây ngạc nhiên của hệ động lực phi tuyến.

Hình 36

Hình 36. Lát cắt Poincaré của quỹ đạo tiệm cận thời gian. Kết quả được tính toán theo cách số trị với Q = 1,372 , A = 1,5 , ω = 2/3 , θ(0) = 0 , v(0) = 0, Nacc  = 100, và φ = 0. Ngoài ra, có góc quay tổng hợp trong mỗi chu kì, Δ θ / 2π, được tính tại pha Poincaré φ = 0.[f36]

Hình 37Hình 37. Lát cắt Poincaré của quỹ đạo tiệm cận thời gian. Kết quả được tính toán theo cách số trị với Q = 1,375 , A = 1,5 , ω = 2/3 , θ(0) = 0 , v(0) = 0, Nacc  = 100, và φ = 0. Ngoài ra, có góc quay tổng hợp trong mỗi chu kì, Δ θ / 2π, được tính tại pha Poincaré φ = 0.[f37]

Hình 38Hình 38. Lát cắt Poincaré của quỹ đạo tiệm cận thời gian. Kết quả được tính toán theo cách số trị với Q = 1,3757 , A = 1,5 , ω = 2/3 , θ(0) = 0, v(0) = 0, Nacc  = 100, và φ = 0. Ngoài ra, có góc quay tổng hợp trong mỗi chu kì, Δ θ / 2π, được tính tại pha Poincaré φ = 0[f38]

Hình 39Hình 39. Lát cắt Poincaré của quỹ đạo tiệm cận thời gian. Kết quả được tính toán theo cách số trị với Q = 1,376 , A = 1,5 , ω = 2/3 , θ(0) = 0, v(0) = 0, Nacc  = 100, và φ = 0. Ngoài ra, có góc quay tổng hợp trong mỗi chu kì, Δ θ / 2π, được tính tại pha Poincaré φ = 0[f39]

Nhiều hệ động lực phi tuyến, có trong tự nhiên, thể hiện một sự chuyển biến từ tuần hoàn sang chuyển động hỗn loạn khi một tham số điều khiển nào đó bị thay đổi. Bây giờ, có những cơ chế đã biết khác nhau giải thích cho việc chuyển động hỗn loạn có thể hình thành từ chuyển động tuần hoàn. Tuy nhiên, một chuyển đổi đến hỗn loạn thông qua một chuỗi vô hạn các phân nhánh nhân đôi chu kì, như được minh họa ở trên, rõ ràng là chống lại hiện tượng thường gặp nhất theo các cơ chế này. Vào khoảng năm 1975, nhà vật lý học Mitchell Feigenbaum đầu tư nghiên cứu một mô hình toán đơn giản, được biết đến với tên bản đồ logistic, vốn thể hiện sự chuyển đổi sang hỗn loạn, thông qua một chuỗi các phân nhánh nhân đôi chu kì, khi tham số điều khiển r tăng lên. Đặt rn là giá trị của r tại đó 2n-chu kì đầu tiên xuất hiện. Feigenbaum nhận thấy rằng tỉ số

Fn = (rn − 1 − rn − 2) / (rn − rn − 1)

hội tụ nhanh chóng về một giá trị không đổi, F = 4,669… , khi n tăng lên. Feigenbaum đã có thể cho thấy rằng giá trị của F này thường gặp trong một loạt các mô hình toán khác nhau trong đó thể hiện sự chuyển đổi sang hỗn loạn thông qua những phân nhánh nhân đôi chu kì.1 Trên cơ sở đó, Feigenbaum lập luận rằng tỉ số Feigenbaum, Fn, cần phải hội tụ về giá trị 4,669… trong bất kì hệ động lực nào biểu hiện sự chuyển đổi sang hỗn loạn qua những phân nhánh nhân đôi chu kì.2 Sự tiên đoán kì diệu này đã được thẩm định bằng thử nghiệm với một loạt những hệ thống vật lý khác nhau.3 Lưu ý rằng ước đoán tốt nhất của chúng ta là tỉ số Feigenbaum (xem Bảng [tpd]) là 4,69 ± 0,01, phù hợp với ước đoán của Feigenbaum.

Sự tồn tại của một tỉ số chung đặc trưng cho sự chuyển biến sang hỗn loạn qua các phân nhánh nhân đôi chu kì là một trong nhiều mảnh bằng chứng cho thấy rằng hỗn loạn là hiện tượng chung (nghĩa là sự khởi phát và bản chất của chuyển động hỗn loạn trong những hệ động lực khác nhau đều có nhiều điểm chung). Quan sát này khuyến khích chúng ta tin rằng khi nghiên cứu chuyển động hỗn loạn của con lắc dao động tắt dần, chịu ngoại lực tuần hoàn, chúng ta cũng đang học những kiến thức có thể áp dụng được cho một khoảng rộng những hệ động lực phi tuyến khác nhau.

Độ nhạy đối với điều kiện ban đầu

Giả sử rằng chúng ta khởi động con lắc và đợi đến khi chuyển động của nó hội tụ về một đường thu hút cụ thể. Chuyển động tiếp theo có thể được hiển thị bởi một đường quỹ đạo θ0(t), v0(t) trong không gian pha. Giả sử rằng bằng cách nào đó ta làm xáo trộn con lắc, ở thời gian t = t0, sao cho vị trí của nó trong không gian pha lập tức chuyển từ θ0(t0), v0(t0) sang θ0(t0) + δθ0, v0(t0) + δv0. Chuyển động tiếp theo có thể được hiển thị như một quỹ đạo thứ hai θ1(t), v1(t) qua không gian pha. Đâu là mối quan hệ giữa quỹ đạo ban đầu θ0(t), v0(t) và quỹ đạo sau khi xáo trộn θ1(t), v1(t)? Nói cách khác, liệu sự phân tách không gian pha giữa hai đường quỹ đạo, với các thành phần

\delta\theta({\Delta} t) = \theta_1(t_0+{\Delta} t)-\theta_0(t_0+{\Delta} t),
\delta v({\Delta} t) = v_1(t_0+{\Delta} t)-v_0(t_0+{\Delta} t),

sẽ bùng lên theo thời gian, tắt dần theo thời gian, hay ổn định gần như không đổi? Điều mà thật ra chúng ta đang tìm hiểu là chuyển động tiệm cận thời gian của con lắc nhạy đối với điều kiện ban đầu.

Căn cứ theo cách phân tích tuyến tính ở Mục [s5.2],

\displaystyle{ \delta\theta({\Delta} t) = \delta\theta_0 \cos(\omega_\ast {\Delta} t) \,{\rm e}^{-{\Delta} t/2Q} + \frac{1}{\omega_\ast}\left\{\delta v_0 + \frac{\delta\theta_0}{2Q}\right\} \sin(\omega_\ast {\Delta} t) \,{\rm e}^{-{\Delta} t/2Q},}
\displaystyle{ \delta v({\Delta} t) = \delta v_0 \cos(\omega_\ast {\Delta} t) \,{\rm e}^{-{\Delta} t/2Q} - \frac{1}{\omega_\ast}\left\{\delta \theta_0 + \frac{\delta v_0}{2Q}\right\} \sin(\omega_\ast {\Delta} t) \,{\rm e}^{- {\Delta} t/2Q},}

với giả thiết rằng sin(ω * t0) = 0. Rõ ràng rằng ít nhất là trong chế độ tuyến tính, chuyển động tiệm cận thời gian của con lắc không thật nhạy đối với điều kiện ban đầu. Thật ra, nếu ta di chuyển quỹ đạo trong không gian pha của con lắc hơi lệch khỏi đường thu hút tuyến tính, như đã miêu tả ở trên, thì quỹ sự xáo trộn sẽ dần tắt đi và quỹ đạo chuyển về đường thu hút theo hàm mũ của thời gian. Nói cách khác, nếu ta đợi đủ lâu thì các chuyển động bị xáo trộn cũng như không xáo trộn của con lắc trở nên không phân biệt được bằng mắt thường. Bây giờ ta hãy khảo sát xem liệu sự không nhạy đối với điều kiện ban đầu này có còn đúng trong chế độ phi tuyến hay không.

Hình 40

Hình 40. Thành phần v của phân tách giữa hai quỹ đạo cạnh nhau trong không gian pha (một trong đó nằm trên đường thu hút) được vẽ theo thời gian chuẩn hóa. Kết quả số liệu được tính bằng cách số trị với Q = 1,372 , A = 1,5 , ω = 2/3 , θ(0) = 0, v(0) = 0, và Nacc  = 100. Sự phân biệt giữa hai quỹ đạo được khởi tạo với δθ0 = δv0 = 10−6 tại Δ t = 0[f40]

Hình 41

Hình 41. Thành phần v của phân tách giữa hai quỹ đạo cạnh nhau trong không gian pha (một trong đó nằm trên đường thu hút) được vẽ theo thời gian chuẩn hóa. Kết quả số liệu được tính bằng cách số trị với Q = 1,375 , A = 1,5 ,  ω = 2/3, θ(0) = 0, v(0) = 0, và Nacc  = 100. Sự phân biệt giữa hai quỹ đạo được khởi tạo với δθ0 = δv0 = 10−6 tại Δt = 0.[f41]

Hình 42

Hình 42. Thành phần v của phân tách giữa hai quỹ đạo cạnh nhau trong không gian pha (một trong đó nằm trên đường thu hút) được vẽ theo thời gian chuẩn hóa. Kết quả số liệu được tính bằng cách số trị với Q = 1,3757 , A = 1,5 , ω = 2/3 , θ(0) = 0 , v(0) = 0, và Nacc  = 100. Sự phân biệt giữa hai quỹ đạo được khởi tạo với δθ0 = δv0 = 10−6 tại Δt = 0.[f42]

Hình 43

Hình 43. Thành phần v của phân tách giữa hai quỹ đạo cạnh nhau trong không gian pha (một trong đó nằm trên đường thu hút) được vẽ theo thời gian chuẩn hóa. Kết quả số liệu được tính bằng cách số trị với Q = 1,376 , A = 1,5 , ω = 2/3 , θ(0) = 0 , v(0) = 0 , và Nacc  = 100. Sự phân biệt giữa hai quỹ đạo được khởi tạo với δθ0 = δv0 = 10−6 tại Δt = 0.[f43]

Các Hình [f40]–[f43] cho thấy kết quả của thử nghiệm nếu trên, trong đó quỹ đạo con lắc trong không gian pha được hơi di chuyển khỏi một đường thu hút và rồi đường phân tách không gian pha giữa các quỹ đạo bị xáo trộn và không xáo trộn được khảo sát như hàm số theo thời gian, trong nhiều giai đoạn thuộc bậc thang nhân đôi chu kì mà ta đã bàn luận ở mục trước. Chính xác hơn, hình vẽ biểu thị logarit của trị tuyệt đối độ lớn của thành phần v trên đường phân tách giữa hai quỹ đạo xáo trộn và không xáo trộn trong không gian pha như một hàm của thời gian chuẩn hóa.

Hình [f40] cho thấy diễn biến theo thời gian của thành phần v trên đường phân tách trong không gian pha, δv, giữa hai quỹ đạo kề nhau, một trong số đó là đường thu hút chu kì-4 đã được minh họa trên Hình [f36]. Có thể thấy rằng δv nhanh chóng tắt dần theo thời gian. Thực ra, đồ thị của log(∣δv∣) theo Δ t có thể chấp nhận được dưới dạng một đường thẳng có độ dốc âm λ. Nói cách khác,

|\delta v({\Delta} t)| \simeq \delta v_0 {\rm e}^{ \lambda {\Delta t}},\label{lia}

trong đó đại lượng λ được hiểu là số mũ Liapunov. Rõ ràng, trong trường hợp này, λ đo mức độ mạnh của hội tụ hàm mũ giữa hai quỹ đạo trong không gian pha. Dĩ nhiên, đồ thị của log(∣δv∣) theo Δt không chính xác là một đường thẳng. Có những sai lệch vì thật ra δv dao động, đồng thời tắt dần, theo thời gian. Cũng có những sai lệch vì độ mạnh của hội tụ giữa hai quỹ đạo lại thay đổi dọc theo đường thu hút.

Định nghĩa nói trên về số mũ Liapunov là khá kém chính xác, vì hai nguyên nhân sau. Thứ nhất, độ mạnh của sự hội tụ/phân kì dạng hàm mũ giữa hai quỹ đạo liền kề trong không gian pha, mà một trong số này là đường thu hút, nói chung đều thay đổi dọc theo đường thu hút. Bởi vậy, ta rất cần lấy công thức ([liapunov]) rồi bằng cách nào đó trung bình hóa nó dọc theo độ dài đường thu hút, để nhận được một định nghĩa rõ hơn về λ. Thứ hai, vì hệ động lực được xét là một hệ bậc hai, nên thực ra nó có hai số mũ Liapunov khác nhau. Xét sự diễn biến của một vòng tròn nhỏ tùy ý chứa các điều kiện ban đầu đã bị xáo trộn, có tâm là một điểm trong không gian pha và nằm trên đường thu hút. Trong quá trình vận động của nó, vòng tròn sẽ trở nên biến dạng thành một hình elip vô cùng nhỏ. Đặt δk, với k = 1, 2, là chiều dài trục chính thứ k của elip trong không gian pha. Hai số mũ Liapunov, λ1λ2, được định nghĩa qua δkt) ≃ δk(0)exp(λkΔt). Tuy nhiên, với giá trị lớn của Δt, đường kính của elip có thể coi như được kiểm soát số mũ Liapunov với phần thực dương nhất. Vì vậy, khi ta nhắc đến số mũ Liapunov, λ, đại lượng mà ta thực sự muốn nói là số mũ Liapunov với phần thực dương nhất.

Hình [f41] cho thấy diễn biến theo thời gian của thành phần v trên đường phân tách trong không gian pha, δv, giữa hai quỹ đạo kề nhau, một trong số đó là đường thu hút chu kì-8 đã được minh họa trên Hình [f37]. Có thể thấy rằng δv tắt dần theo thời gian, dù không nhanh chóng như ở Hình [f40]. Một cách khác để nói điều này là số mũ Liapunov của đường thu hút tuần hoàn trên Hình [f37] là âm (nghĩa là nó có phần thực âm), mặc dù không âm bằng đường thu hút tuần hoàn trên Hình [f36].

Hình [f42] cho thấy diễn biến theo thời gian của thành phần v trên đường phân tách trong không gian pha, δv, giữa hai quỹ đạo kề nhau, một trong số đó là đường thu hút chu kì-16 đã được minh họa trên Hình [f38]. Có thể thấy rằng δv tắt dần một cách chậm chạp theo thời gian. Nói cách khác, số mũ Liapunov của đường hấp dẫn tuần hoàn trên Hình [f38] là nhỏ và âm.

Sau cùng, Hình [f43] cho thấy diễn biến theo thời gian của thành phần v trên đường phân tách trong không gian pha, δv, giữa hai quỹ đạo kề nhau, một trong số đó là đường thu hút hỗn loạn ở trên Hình [f39]. Có thể thấy rằng δv tăng theo thời gian. Nói cách khác, số mũ Liapunov của đường thu hút hỗn loạn trên Hình [f39] là dương. Xem xét kĩ hơn, ta thây rằng khi tham số điều khiển Q tăng dần lên thì số mũ Liapunov đổi dấu và trở thành dương tại đúng điểm mà sự hỗn loạn xuất hiện trên Hình [f35].

Những lập luận trên cho thấy một cách thuyết phục rằng các đường thu hút tuần hoàn được đặc trưng bởi các số mũ Liapunov âm, trong khi các đường thu hút hỗn loạn được đặc trưng bởi các số mũ dương. Nhung bằng cách nào mà một đường thu hút có được số mũ Liapunov dương? Chắc chắn là một số mũ dương nhất thiết ngụ ý rằng quỹ đạo trong không gian pha phân kì khỏi đường thu hút (và do vậy, đường thu hút không còn là đường thu hút thực sự ?) Hóa ra, điều này không đúng. Đường thu hút hỗn loạn trên Hình [f39] là một đường thu hút thực thụ, theo nghĩa là các quỹ đạo xung quanh nhanh chóng hội tụ về nó—nghĩa là sau một vài chu kì tuần hoàn của ngoại lực, đồ thị lát cắt Poincaré cho thấy bốn đoạn thẳng như trên Hình [f39]. Như vậy, sự phân kì theo hàm mũ của các quỹ đạo liền kề, vốn là đặc tính của đường thu hút hỗn loạn, đã xảy ra ngay trong đường thu hút. Dĩ nhiên là sự phân kì theo hàm mũ này sẽ đến lúc phải kết thúc khi đường phân cách của các quỹ đạo trong không gian pha trở nên đáng kể so với kích thước của đường thu hút.

Một hệ động lực được đặc trưng bởi số mũ Liapunov dương, λ, có một ngưỡng thời gian mà vượt quá nó, những ước tính tất nhiên thông thường sẽ không còn đúng nữa. Chẳng hạn ta đo đạc rất chính xác những điều kiện ban đầu của một hệ thí nghiệm. Dĩ nhiên là không có đạc nào là hoàn hảo; luôn luôn có một sai số δ0 nào đó giữa giá trị ước đoán của ta và trạng thái ban đầu đúng. Sau một thời gian t, sự khác biệt này tăng lên đến δ(t) ∼ δ0exp(λt). Đặt a là một độ đo dung sai: nghĩa là một ước đoán nằm trong phạm vi lệch a so với trạng thái đúng được coi là chấp nhận được. Từ đó dẫn đến ước đoán của ta sẽ không chấp nhận được nếu δ ≫ a; điều này xảy ra khi

t > th ∼ 1 / λ ln(a / δ0). 

Lưu ý mối phụ thuộc dạng logarit đối với δ0. Điều này đảm bảo rằng, trên thực tế, bất kể chúng ta nỗ lực giảm sai số đo đạc ban đầu đến đâu, cũng không thể ước tính được động thái của hệ trong khoảng thời gian dài hơn bội số vài lần của 1 / λ.

Thảo luận trên dẫn tới nhận định là, các đường thu hút hỗn loạn gắn liền với chuyển động vốn không thể dự đoán được. Nói cách khác, nếu ta cố gắng lấy tích phân phương trình chuyển động của một hệ hỗn loạn thì ngay cả sai số nhỏ nhất trong điều kiện ban đầu sẽ được khuếch đại với hàm số mũ theo thời gian và sẽ nhanh chóng phá hủy độ chính xác của dự đoán. Cuối cùng, điều ta có thể kết luận được chỉ là chuyển động nằm đâu đó trên đường thu hút hỗn loạn trong không gian pha, nhưng nó nằm chính xác ở đâu trên đường thu hút tại một thời điểm cụ thể thì ta không biết được.

Tính “siêu nhạy” này của hệ hỗn loại đối với điều kiện biên đôi khi được gọi là hiệu ứng bướm. Ý tưởng cơ bản là một con bướm vẫy cánh ở vùng rừng rậm Nam Mỹ, về nguyên tắc có thể gây ảnh hưởng đến thời tiết ở Texas (vì khí quyển có biểu hiện động lực hỗn loạn). Ý tưởng này được công bố đầu tiên bởi nhà khí tượng học Edward Lorenz, người đã thiết lập một mô hình sơ lược cho quá trình đối lưu của khí quyển khi nó được mặt đất hun nóng.4 Lorenz đã phát hiện, với sự ngạc nhiên của ông, rằng mô hình khí quyển thiết lập được đã biểu hiện chuyển động hỗn loạn—điều mà thời bấy giờ chưa được biết đến trong giới vật lý. Thực tế, Lorenz chính là nhà khoa học đầu tiên hiểu trọn vẹn bản chất và sự phức tạp chằng chịt của chuyển động hỗn loạn trong các hệ vật lý. Cụ thể, Lorenz đã nhận ra rằng động lực hỗn loạn của khí quyển là điềm báo về sự thất bại trong việc dự báo thời tiết dài hạn: điều tốt nhất mà ta có thể hi vọng đạt được là dự báo thời tiết trước một vài ngày (thời gian 1 / λ đối với khí quyển thì dài cỡ vài ngày).

Định nghĩa sự hỗn loạn

Không có một định nghĩa nào cho hỗn loạn được công nhận rộng rãi. Dù vậy, nhiều người châp nhận định nghĩa thực dụng sau:

Hỗn loạn là động thái tiệm cận thời gian, có tính tuần hoàn, trong một hệ tất định [không ngẫu nhiên] với biểu hiện phụ thuộc rất nhạy vào các điều kiện ban đầu.

Định nghĩa trên bao gồm ba yếu tố chính:

  1. Động thái tuần hoàn, tiệm cận thời gian—điều này ngụ ý rằng tồn tại những quỹ đạo trong không gian pha; những quỹ đạo này không suy biến thành điểm cố định hay quỹ đạo khép kín (tuần hoàn). Để cho tiện, chúng ta đòi hỏi rằng những quỹ đạo này không quá hiếm thấy. Ta cũng yêu cầu các quỹ đạo phải bị chặn, tức là chúng không đi đến vô tận.
  2. Tất định—điều này ngụ ý rằng phương trình chuyển động của hệ không chứa thành phần đầu vào ngẫu nhiên. Nói cách khác, biểu hiện bất thường của hệ nảy sinh từ động lực phi tuyến chứ không phải từ những ngoại lực nhiễu động.
  3. Phụ thuộc nhạy vào điều kiện ban đầu—điều này ngụ ý rằng những quỹ đạo gần nhau trong không gian pha sẽ tách ra nhanh chóng, với cấp lũy thừa theo thời gian: nghĩa là hệ có một số mũ Liapunov dương.

Khung tuần hoàn

Hình 44

Hình 44. Tọa độ v của lát cắt Poincaré trên quỹ đạo tiệm cận thời gian trong không gian pha được vẽ theo nhân tố chất lượng Q. Kết quả số liệu được tính theo cách số trị với A = 1,5 , ω = 2/3 , θ(0) = 0, v(0) = −0,75 , Nacc  = 100, và φ = 0[f44]

Ta hãy quay về Hình [f35]. Hãy nhớ lại rằng hình đó chỉ sự khởi phát của hỗn loạn, qua bậc thang phân nhánh nhân đôi chu kì, khi nhân tố chất lượng Q dần dần tăng lên. Hình [f44] chính là tiếp nối của Hình [f35] vốn cho thấy toàn bộ vùng hỗn loạn (trong không gian Qv). Có thể thấy rằng vùng hỗn loạn kết thúc đột ngột khi Q vượt quá một giá trị phân giới, bằng khoảng 1,4215. Vượt khỏi giá trị phân giới này, chuyển động tiệm cận thời gian dường như trở về chuyển động chu kì-1 (tức là vùng màu đen đặc sẽ suy biến thành một đường cong). Cũng có thể thấy rằng vùng hỗn loạn bao gồm nhiều khung hẹp trong đó hỗn loạn trở về chuyển động tuần hoàn (nghĩa là vùng đen đặc suy biến thành n đường cong, trong đó n là chu kì của chuyển động) trong một khoảng ngắn của Q. Có bốn khung rộng nhất được cho thấy trên hình trên.

Hình 45

Hình 45. Tọa độ v của lát cắt Poincaré trên quỹ đạo tiệm cận thời gian trong không gian pha được vẽ theo nhân tố chất lượng Q. Kết quả số liệu được tính theo cách số trị với A = 1,5 , ω = 2/3 , θ(0) = 0, v(0) = −0,75 , Nacc  = 100, và φ = 0[f45]

Hình [f45] là sự bùng nổ của khung chu kì-3 từ Hình [f44]. Có thể thấy rằng khung này xuất hiện một cách không lường trước, khi Q dần tăng lên. Tuy vậy, cũng có thể thấy rằng khi Q tiếp tục tăng, khung sẽ bị phá vỡ, và cuối cùng biến mất, do tác động của bậc thang các phân nhánh nhân đôi chu kì. Cơ chế của quá trình này cũng giống với quá trình nguyên gốc: bậc thang nhân đôi chu kì mà ta đã bàn luận ở Mục [spd], chỉ khác nhau ở chỗ bây giờ các quỹ đạo có chu kì 3 ⋅ 2n, thay vì 2 ⋅ 2n. Lưu ý rằng tất cả các khung tuần hoàn khác thấy được trong Hình [f44] cũng bị phá vỡ theo cách tương tự, khi Q tăng lên.

Hình 46

Hình 46. Lát cắt Poincaré của quỹ đạo tiệm cận thời gian. Kết quả được tính toán theo cách số trị với Q = 1,387976 , A = 1,5 , ω = 2/3 , θ(0) = 0, v(0) = −0,75 , Nacc  = 100, và φ = 0. Đồng thời, hình cũng cho thấy góc quay tổng hợp trong mỗi chu kì, Δ θ / 2π, được tính tại pha Poincaré φ = 0[f46]

Hình 47

Hình 47. Lát cắt Poincaré của quỹ đạo tiệm cận thời gian. Kết quả được tính toán theo cách số trị với Q = 1,387977 , A = 1,5 , ω = 2/3 , θ(0) = 0, v(0) = −0,75 , Nacc = 100, và φ = 0. Đồng thời, hình cũng cho thấy góc quay tổng hợp trong mỗi chu kì, Δ θ / 2π, được tính tại pha Poincaré φ = 0[f47]

Hình 48

Hình 48. Lát cắt Poincaré của quỹ đạo tiệm cận thời gian. Kết quả được tính toán theo cách số trị với Q = 1,387978 , A = 1,5 , ω = 2/3 , θ(0) = 0, v(0) = −0,75 , Nacc  = 100, và φ = 0. Đồng thời, hình cũng cho thấy góc quay tổng hợp trong mỗi chu kì, Δθ / 2π, được tính tại pha Poincaré φ = 0.[f48]

Bây giờ ta đã hiểu bằng cách nào mà các khung tuần hoàn bị phá vỡ. Nhưng bằng cách nào mà ban đầu chúng lại xuất hiện? Các Hình [f46]–[f48] lần lượt cho thấy chi tiết chuyển động tiệm cận thời gian của con lắc được tính toán ngay trước khi xuất hiện khung chu kì-3 (chỉ ra trên Hình [f45]), đúng lúc xuất hiện khung này, và ngay sau lúc xuất hiện khung này. Như ta thấy từ Hình [f46], rằng ngay trước khi xuât hiện khung, đường thu hút có tính hỗn loạn (nghĩa là lát cắt Poincaré của nó bao gồm một đường thay vì một tập hợp các điểm rời rạc), và chuyển động tiệm cận thời gian của con lắc bao gồm những quãng chuyển động với chu kì-3 xen lẫn với những quãng chuyển động hỗn loạn. Hình [f47] cho thấy rằng tại đúng lúc xuât hiện khung, đường tuần hoàn đã mất đi nhiều phần hỗn loạn vốn có (nghĩa là lát cắt Poincaré của nó bị phá vỡ thành một loạt các điểm), và các khoảng hỗn loạn đã trở nên ngắn lại và ít thường xuyên hơn rõ rệt. Cuối cùng, Hình [f48] cho thấy ngay sau khi xuất hiện khung, đường thu hút đã suy biến thành một đường thu thút chu kì 3, và các khoảng hỗn loạn đã đồng loạt ngừng lại. Tất cả những khung khác có trên Hình [f44] đều xuất hiện theo cách tương tự như những gì vừa mô tả.

Theo thảo luận nói trên thì chuyển động tiệm cận thời gian điển hình mà ta thấy ngay trước khi xuất hiện một khung chu kì-n bao gồm các khoảng chuyển động có chu kì-n đan xen với những khoảng chuyển động hỗn loạn. Kiểu động thái này được gọi là sự ngắt quãng, và có thể quan sát được trong nhiều hệ phi tuyến. Khi ta rời xa khỏi khung này trong không gian tham số, thì các khoảng chuyển động tuần hoàn dần trở nên ngắn lại và ít thường xuyên hơn. Cuối cùng, chúng đồng loạt dừng lại hết. Tương tự, khi chúng ta tiến về phía khung, các khoảng chuyển động tuần hoàn trở nên dài hơn và thường xuyên hơn. Rốt cuộc thì toàn bộ chuyển động có tính tuần hoàn.

Vào năm 1973, Metropolis cùng các cộng sự khảo sát một lớp các mô hình toán đơn giản trong đó đều bộc lộ sự chuyển tiếp sang hỗn loạn, qua một bậc thang phân nhánh nhân đôi chu kì, khi một tham số kiểm soát r nào đó được tăng lên.5 Họ đã cho thấy được rằng, với những sơ đồ này, khi r tăng lên thì số bậc mà các quỹ đạo tuần hoàn bền vững xuất hiện là con số cố định. Điều này có nghĩa là, đường thu hút tuần hoàn bền vững luôn xuất hiện theo cùng trình tự khi r thay đổi. Trình tự này được gọi là trình tự chung (universal sequence) hay trình tự U. Có thể đặt một luận điểm tương đối thuyết phục là bất kì hệ vật lý nào mà bộc lộ sự dịch chuyển sang hỗn loạn thông qua một trình tự các phân nhánh nhân đôi chu kì thì cũng bộc lộ trình tự U gồm các đường thu hút tuần hoàn. Lên đến chu kì-6, trình tự U có dạng
1, 2, 2 × 2, 6, 5, 3, 2 × 3, 5, 6, 4, 6, 5, 6. 
Phần đầu của trình tự này tương đối quen thuộc: các chu kì 1, 2, 2 × 2 là những giai đoạn đầu tiên của bậc thang nhân đôi chu kì. (Các nhân đôi chu kì tiếp theo sẽ dẫn đến chu kì lớn hơn 6, và do đó ta bỏ qua ở đây). Các chu kì kế tiếp, 6, 5, 3 tương ứng với ba khung tuần hoàn đầu tiên như trên Hình [f44]. chu kì 2 × 3 là thành phần đầu tiên trong bậc thang nhân đôi chu kì gây phá vỡ khung chu kì-3. Chu kì tiếp theo, 5, tương ứng với khung tuần hoàn cuối cùng được biểu thị trên Hình [f44]. Các chu kì còn lại, 6, 4, 6, 5, 6, tương ứng với các khung chu kì tí hon, và thực tế là ta không thể quan sát được. Từ đó dẫn đến việc hệ con lắc chịu tác động ngoại lực đã bộc lộ trình tự U của các quỹ đạo tuần hoàn ổn định một cách tương đối thuyết phục. Trình tự này cũng được quan sát thực nghiệp trong những hệ động lực khác hoàn toàn.6 Sự tồn tại của một trình tự chung cho các quỹ đạo tuần hoàn ổn định trong các hệ động lực bộc lộ chuyển biến sang hỗn loạn thông qua bậc thang phân nhánh nhân đôi chu kì là một biểu hiện khác cho thấy hỗn loạn là một hiện tượng chung.

Tìm hiểu thêm

Hình 49

Hình 49. Tọa độ v của lát cắt Poincaré trên quỹ đạo tiệm cận thời gian trong không gian pha được vẽ theo nhân tố chất lượng Q. Kết quả số liệu được tính theo cách số trị với A = 1,5 , ω = 2/3, θ(0) = 0, v(0) = 0, Nacc  = 100, và φ = 0[f49]

Hình [f49] cho thấy sơ đồ phân nhánh trọn vẹn của con lắc dao động tắt dần dưới tác dụng của ngoại lực tuần hoàn (có A = 1,5ω = 2/3). Có thể thấy rằng vùng hỗn loạn được khảo sát trong mục trước chính là vùng đầu tiên, và cũng hẹp nhất, trong số ba vùng hỗn loạn khác nhau.

Hình 50

Hình 50. Các điểm cách đều nhau (theo thời gian) trên đường quỹ đạo tiệm cận thời gian trong không gian pha. Kết quả được tính bằng phương pháp số với Q = 1,5 ,  A = 1,5 , ω = 2/3, θ(0) = 0, v(0) = 0, và Nacc  = 100. Trên hình cũng vẽ quỹ đạo tiệm cận thời gian tính với các điều kiện ban đầu được thay đổi θ(0) = 0, và v(0) = −1.[f50]

Khoảng cách giữa hai vùng hỗn loạn thứ nhất và thứ hai bị quỹ đạo chu kì-1 (Hình [f50]) chiếm chỗ. Lưu ý rằng các quỹ đạo này hơi khác so với các quỹ đạo chu kì-1 mà ta bắt gặp từ trước, vì con lắc thực hiện một vòng quay trọn vẹn (qua phải hoặc qua trái) trong mỗi chu kì của ngoại lực. Bây giờ, một quỹ đạo chu kì n, l được định nghĩa sao cho
θ(t + nτ) = θ(t) + 2πvới mọi t (sau khi mọi thành phần dao động nhất thời đã tắt). Từ đó dẫn đến tất cả các quỹ đạo tuần hoàn mà ta gặp từ những mục trước đều là quỹ đạo có l = 0: nghĩa là các chuyển động tương ứng của chúng không bao gồm góc quay tổng hợp của con lắc. Các quỹ đạo chỉ ra trên Hình [f50] lần lượt là quỹ đạo n = 1 , l = −1n = 1, l = +1. Sự tồn tại những quỹ đạo tuần hoàn trong đó con lắc trải qua một vòng quay tổng hợp, hoặc là qua trái hoặc qua hpari, là một ví dụ khác cho sự phá vỡ đối xứng không gian—không có gì trong phương trình chuyển động của con lắc gây ra sự phân biệt giữa hai hướng chuyển động quay khả dĩ cả.

Hình 51

Hình 51. Lát cắt Poincaré của quỹ đạo tiệm cận thời gian. Kết quả được tính toán theo cách số trị với Q = 2,13 , A = 1,5 , ω = 2/3, θ(0) = 0, v(0) = 0, Nacc  = 100, và φ = 0. [f51]

Hình [f51] cho thấy lát cắt Poincaré của một đường thu hút điển hình trong vùng hỗn loạn thứ hai trên Hình [f49]. Có thể thấy rằng đường thu hút này cuộn xoắn nhiều hơn và rộng hơn so với đường thu hút hỗn loạn đơn giản gồm 4 đoạn thẳng trên Hình [f39]. Thực ra, đường thu hút trên Hình [f51] rõ ràng là một đường cong fractal. Hóa ra là gần như mọi đường thu hút hỗn loạn đều bộc lộ cấu trúc fractal.

Khoảng giữa hai vùng hỗn loạn thứ hai và thứ ba như trên Hình [f49] bị chiếm chỗ bởi các quỹ đạo tuần hoàn n = 3, l = 0. Hình [f52] cho thấy lát cắt Poincaré của một đường thu hút điển hình trong vùng hỗn loạn thứ ba. Có thể thấy rằng đường thu hút này thậm chí còn có tính fractal quá mức hơn nhiều so với đường trên hình trước đó. Lưu ý rằng bản chât fractal của các đường thu hút hỗn loạn gắn bó chặt chẽ với một số tính chất bất thường của chúng. Quỹ đạo trên đường thu hút hỗn loạn vẫn duy trì giới hạn trong một vùng bị chặn của không gian pha, nhưng chúng phân nhanh chóng tách khỏi các đường gần kề theo tốc độ hàm mũ (ít nhất là từ ban đầu). Làm sao mà những quỹ đạo phân kì một cách vô tận mà vẫn duy trì tính chất bị chặn? Cơ chế cốt lõi được mô tả như sau. Nếu ta tưởng tượng một búi các điều kiện ban đầu trong không gian pha, rồi chúng trải qua một loạt các giai đoạn giãn và co gấp lặp đi lặp lại, giống như chuyển động hỗn loạn được bung ra. Quá trình giãn là nguyên nhân gây ra sự phân kì cho các quỹ đạo gần kề. Quá trình gấp là nhân tố đảm bảo cho việc các quỹ đạo vẫn còn bị chặn. Kết quả tổng hợp là một cấu trúc thuộc không gian pha, trông giống như tấm bột mì7—nói cách khác, là một cấu trúc fractal.

Hình 52Hình 52. Lát cắt Poincaré của quỹ đạo tiệm cận thời gian. Kết quả được tính toán theo cách số trị với Q = 3,9 , A = 1,5 , ω = 2/3, θ(0) = 0, v(0) = 0, Nacc  = 100, và φ = 0. [f52]


  1. M.J. Feigenbaum, Quantitative universality for a class of nonlinear transformations, J. Stat. Phys. 19, 25 (1978).
  2. M.J. Feigenbaum, The universal metric properties of nonlinear transformations, J. Stat. Phys. 21, 69 (1979).
  3. P. Citanovic, Universality in chaos, (Adam Hilger, Bristol UK, 1989).
  4. E. Lorenz, Deterministic nonchu kìic flow, J. Atmospheric Science 20, 130 (1963).
  5. N. Metropolis, M.L. Stein, and P.R. Stein, On finite limit sets for transformations on the unit interval, J. Combin. Theor. 15, 25 (1973).
  6. R.H. Simoyi, A. Wolf, and H.L. Swinney, One-dimensional dynamics in a multi-component chemical reaction, Phys. Rev. Lett. 49, 245 (1982).
  7. http://en.wikipedia.org/wiki/Filo_dough
Advertisements

2 phản hồi

Filed under Vật lý tính toán

2 responses to “Chương 4: Con lắc hỗn loạn (Phần 2)

  1. Pingback: Chương 1: Giới thiệu chung | Blog của Chiến

  2. Pingback: Chương 4: Con lắc hỗn loạn (Phần 1) | Blog của Chiến

Trả lời

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Đăng xuất / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Đăng xuất / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Đăng xuất / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Đăng xuất / Thay đổi )

Connecting to %s