Chương 9: Các phương pháp Monte-Carlo (Phần 2)

 Trở về Mục lục cuốn sách

Mô hình Ising

Tính sắt từ biểu hiện khi một tập hợp các spin nguyên tử sắp xếp sao cho các mô-men từ của chúng đều có cùng hướng, do đó tạo nên mô-men tổng hợp có độ lớn đáng kể. Cách biểu diễn lí thuyết đơn giản nhất cho hiện tượng sắt từ được gọi là mô hình Ising. Mô hình được Wilhelm Lenz phát minh năm 1920: tên của nó được đặt theo Ernst Ising, học trò của Lenz, người đã chọn mô hình này làm chủ đề luận án tiến sĩ năm 1925.

Xét N nguyên tử tồn tại trong từ trường định hướng z có cường độ H. Giả sử rằng mọi nguyên tử đều là hệ spin –½ như nhau. Điều này dẫn đến hoặc si = +1 (spin hướng lên), hoặc si = −1 (spin hướng xuống), trong đó si là (hai lần) thành phần theo phương z của spin nguyên tử thứ i. Tổng năng lượng của hệ được viết là:

E =  − J ∑ <ij> sisj − μHi=1N si.       [eising]

Ở đây,  <ij>  được dùng để chỉ tổng theo các cặp nguyên tử lân cận. Ngoài ra, J được gọi là năng lượng trao đổi, còn μmô-men từ nguyên tử. Phương trình ([eising]) là cốt lõi của mô hình Ising.

Đặc điểm vật lý của mô hình Ising như sau. Phần tử thứ nhất ở vế phải của PT ([eising]) cho thấy rằng tổng năng lượng bị giảm xuống khi các spin nguyên tử lân cận được sắp xếp. HIệu ứng này chủ yếu là do nguyên lý ngoại trừ Pauli. Các electron không thể chiếm giữ cùng một trạng thái lượng tử, vì vậy hai electron của hai nguyên tử cạnh nhau, có cùng spin song song (nghĩa là chiếm cùng trạng thái orbital), thì không thể tiến sát nhau. Sẽ không có sự ngăn cản như vậy nếu các electron có spin phản-song song. Những ngăn cách không gian khác nhau ngụ ý rằng tồn tại những năng lượng tương tác tĩnh điện khác nhau, và năng lượng trao đổi, J, đo đạc sự khác biệt này. Lưu ý rằng vì năng lượng trao đổi có nguồn gốc tĩnh điện nên nó có thể khá lớn: i.e., J ∼ 1eV. Giá trị này lớn hơn nhiều so với năng lượng gắn với tương tác từ, trực tiếp giữa các spin nguyên tử lân cận, vốn chỉ khoảng 10−4 eV. Tuy nhiên, hiệu ứng trao đổi có phạm vi rất gần; vì vậy việc giới hạn chỉ xét tương tác với nguyên tử lân cận nhất là tương đối thực tế.

Nỗ lực đầu tiên của chúng ta nhằm phân tích mô hình Ising là dùng một cách đơn giản hóa được biết với tên gọi xấp xỉ trường trung bình. Năng lượng của nguyên tử thứ i được viết dưới dạng

ei =  − J/2 ∑k=1z sksi − μHsi, 

trong đó tổng được tính cho z nguyên tử lân cận với nguyên tử thứ i. Hệ số 1 / 2 cần đưa vào để đảm bảo rằng khi ta cộng lại tìm tổng năng lượng,

E = ∑ i=1N ei, 

thì ta không đếm mỗi cặp nguyên tử lân cận hai lần.

Có thể viết

ei =  − μHeffsi, 

trong đó

Heff = H + J/2μk=1z sk

Ở đây, Hefftừ trường hiệu dụng, được hợp bởi hai thành phần: trường bên ngoài, H, và trường bên trong gây ra bởi hai nguyên tử lân cận.

Xét một nguyên tử đơn trong từ trường Hm. Giả sử rằng nguyên tử trong trạng thái cân bằng nhiệt với môi trường (heat bath) có nhiệt độ T. Theo phân bố Boltzmann nổi tiếng thì spin trung bình của nguyên tử là

\displaystyle{  \bar{s } = \frac{\textrm{e}^{+\beta\,\mu\,H_m} - \textrm{e}^{-\beta\,\mu\,H_m}}  {\textrm{e}^{+\beta\,\mu\,H_m} + \textrm{e}^{-\beta\,\mu\,H_m}},  }

trong đó β = 1 / kT, và k là hằng số Boltzmann. Có được biểu thức trên là do năng lượng của trạng thái “spin lên” (s =  + 1) là  − μHm, trong khi năng lượng của trạng thái “spin xuống” (s =  − 1) là  + μHm. Vì vậy,

 = tanh(βμHm).     [emf1]

Ta hãy giả sử rằng các nguyên tử có spin giống hệt nhau: nghĩa là, si = . Giả thiết này được gọi là “xấp xỉ trường trung bình”. Ta có thể viết

Heff = H + zJ/2μ.       [emf2]

Sau cùng, ta có thể kết hợp các PT ([emf1]) và ([emf2]) (đồng nhất Hm với Heff) để thu được

 = tanh{βμH + βzJ / 2}.           [emf3]

Lưu ý rằng môi trường nhiệt bao trọn một nguyên tử chính là tất cả những nguyên tử còn lại. Vì vậy, T là nhiệt độ của mảng các nguyên tử. Để cho tiện, ta định nghĩa nhiệt độ phân giới,

Tc = zJ / 2k, 

từ trường phân giới,

Hc = kTc /μ = zJ / 2μ. 

Phương trình ([emf3]) được rút gọn thành

\bar{s} = \tanh\left\{\frac{T_c}{T}\left(\frac{H}{H_c} + \bar{s}\right)\right\}.

Phương trình trên không thể giải chính xác được. Tuy nhiên, sẽ khá dễ giải theo cách số trị bằng sơ đồ lặp sau:

\bar{s}_{i+1} = \tanh\left\{\frac{T_c}{T}\left(\frac{H}{H_c} + \bar{s}_i\right)\right\}.           [eiter]

Công thức trên được lặp lại cho đến khi i + 1 → i.

Để cho tiện, ta định nghĩa độ từ hóa tổng hợp (net magnetization),

M = μ∑ i = 1Nsi = μN, 

và năng lượng tổng hợp (net energy),

E = ∑ i = 1Nei =  − NkTc(H / Hc + ), 

cùng nhiệt dung,

C = dE / dT. 

Năng lượng tổng hợp, E, của một tập hợp N nguyên tử sắt từ, đóng vai trò hàm số theo nhiệt độ, T, khi không có từ trường bên ngoài. Tính toán được thực hiện với xấp xỉ trường trung bình.[ising1]

Độ từ hóa tổng hợp, M, của một tập hợp N nguyên tử sắt từ, đóng vai trò hàm số theo nhiệt độ, T, khi không có từ trường bên ngoài. Tính toán được thực hiện với xấp xỉ trường trung bình.[ising2]

Nhiệt dung, C, của một tập hợp N nguyên tử sắt từ, đóng vai trò hàm số theo nhiệt độ, T, khi không có từ trường bên ngoài. Tính toán được thực hiện với xấp xỉ trường trung bình.[ising3]

Các Hình [ising1], [ising2], và [ising3] cho thấy độ từ hóa tổng hợp, năng lượng tổng hợp, và nhiệt dung được tính từ công thức lặp ([eiter]) khi không có từ trường trường bên ngoài, nghĩa là H = 0). Có thể thấy rằng ở dưới nhiệt độ phân giới (hay nhiệt độ “Curie”), Tc, có sự từ hóa nhất thời: nghĩa là hiệu ứng trao đổi đủ lớn để khiến cho spin của các nguyên tử lân cận xếp hàng một cách nhất thời. Mặt khác, những nhiễu động về nhiệt hoàn toàn loại bỏ bất kể sự sắp đặt nào khi nhiệt độ vượt quá giá trị phân giới. Hơn nữa, tại nhiệt độ phân giới, có một sự gián đoạn của đạo hàm bậc nhất năng lượng E theo nhiệt độ T. Sự gián đoạn này gây ra một bước nhảy giảm sút nhiệt dung, C, tại T = Tc. Sự đột ngột mất đi từ tính tức thời khi nhiệt độ vượt quá giá trị phân giới là một dạng chuyển pha.

Bây giờ, căn cứ theo phân loại thông dụng đối với chuyển pha, ta gọi hiện tượng chuyển pha là bậc nhất nếu năng lượng là hàm gián đoạn theo tham số bậc (trong trường hợp này là nhiệt độ), và là bậc hai nếu như năng lượng là liên tục, nhưng đạo hàm bậc nhất của nó theo tham số bậc lại gián đoạn, v.v. Ta kết luận rằng sự mất mát của từ tính tức thời trong vật liệu sắt từ khi nhiệt độ vượt quá giá trị phân giới là một sự chuyển pha bậc hai.

Để thấy được một ví dụ về sự chuyển pha bậc nhất, ta hãy xem xét động thái của độ từ hóa, M, khi trường bên ngoài, H, bị thay đổi, tại nhiệt độ T không đổi.

Độ từ hóa tổng hợp, M, của một tập hợp N nguyên tử sắt từ, đóng vai trò hàm số theo từ trường ngoài, H, tại nhiệt độ không đổi, T < Tc. Tính toán được thực hiện với xấp xỉ trường trung bình.[bs4]

Năng lượng tổng hợp, E, của một tập hợp N nguyên tử sắt từ, đóng vai trò hàm số theo từ trường ngoài, H, tại nhiệt độ không đổi, T < Tc. Tính toán được thực hiện với xấp xỉ trường trung bình. [bs3]

Các Hình [bs4] và [bs3] cho thấy độ từ hóa, M, và năng lượng, E, theo cường độ từ trường ngoài, H, được tính theo công thức lặp ([eiter]) tại một nhiệt độ không đổi nào đó, T, nhỏ hơn nhiệt độ phân giới Tc. Có thể thấy rằng E bị gián đoạn, cho thấy sự hiện diện của bước chuyển pha bậc nhất. Ngoài ra, hệ còn bộc lộ từ trễ (hysteresis)—trạng thái siêu bền tồn tại trong một khoảng nhất định các giá trị của H, và từ độ của hệ thống tại các giá trị cố định của TH (bên trong khoảng nêu trên) phụ thuộc vào diễn biến quá khứ của nó: nghĩa là phụ thuộc xem liệu H đang tăng hoặc giảm khi bắt đầu bước vào khoảng siêu bền.

Độ từ hóa tổng hợp, M, của một tập hợp N nguyên tử sắt từ, đóng vai trò hàm số theo từ trường ngoài, H, tại nhiệt độ không đổi, T = Tc. Tính toán được thực hiện với xấp xỉ trường trung bình.[bs2]

Năng lượng tổng hợp, E, của một tập hợp N nguyên tử sắt từ, đóng vai trò hàm số theo từ trường ngoài, H, tại nhiệt độ không đổi, T = Tc. Tính toán được thực hiện với xấp xỉ trường trung bình.[bs1]

Các Hình [bs2] và [bs1] biểu diễn độ từ hóa, M, và năng lượng, E, theo cường độ từ trường ngoài, H, được tính theo công thức lặp ([eiter]) tại một nhiệt độ không đổi nào đó, T, bằng nhiệt độ phân giới Tc. Có thể thấy rằng bây giờ E lại liên tục, và không có trạng thái siêu bền nào. Ta kết luận rằng sự chuyển pha bậc nhất và từ trễ, trong điều kiện cường độ từ trường ngoài thay đổi, chỉ xảy ra khi nhiệt độ thâp hơn nhiệt độ phân giới: nghĩa là khi vật liệu sắt từ đang xét có khả năng từ hóa tức thời.

Những tính toán trên, dựa theo cách xấp xỉ trường trung bình, đã dự đoán đúng sự tòn tại của các hiện tượng chuyển pha bậc nhất và bậc hai lần lượt khi H ≠ 0H = 0, Tuy nhiên, những tính toán này lại sai ở một số chi tiết trong sự chuyển pha bậc hai. Để tính đúng hơn, ta phải bỏ cách xấp xỉ trường trung bình và dùng cách Monte-Carlo.

Một mảng hai chiều các nguyên tử.[farray]

Ta hãy xét một mảng vuông hai chiều chứa các nguyên tử. Đặt L là kích thước mảng, và N = L2 là số nguyên tử có trong mảng, như trên Hình [farray]. Phương pháp Monte-Carlo dùng cho mô hình Ising, hoàn toàn không sử dụng cách xấp xỉ trường trung bình, được dựa trên thuật toán sau:

  • Lần lượt đi qua từng nguyên tử trong mảng:
    • Với mỗi nguyên tử, hãy tính độ thay đổi năng lượng của hệ, Δ E, khi spin nguyên tử bị đảo ngược.
    • Nếu Δ E < 0 thì đảo ngược spin.
    • Nếu Δ E > 0 thì đảo ngược spin với xác suất P = exp( − β Δ E).
  • Lặp lại quá trình nhiều lần cho đến khi đạt được cân bằng nhiệt.

Mục đích của thuật toán này là xáo trộn tất cả các trạng thái có thể của hệ thống, và đảm bảo rằng hệ thống chiếm giữ một trạng thái cho trước với xác suất Boltzmann: nghĩa là một xác suất tỉ lệ thuận với exp( − βE), trong đó E là năng lượng của trạng thái.

Để biểu diễn tính đúng đắn của thuật toán trên, ta hãy xét việc đảo spin của nguyên tử thứ i. Giả sử rằng hành động này khiến cho hệ thống chuyển từ trạng thái a (năng lượng Ea) sang trạng thái b (năng lượng Eb). Hơn nữa, giả sử rằng Ea < Eb. Theo thuật toán trên, xác suất để chuyển từ trạng thái a sang trạng thái b

Pa → b = exp[ − β (Eb − Ea)], 

trong khi xác suất để chuyển từ trạng thái b sang trạng thái a

Pb → a = 1. 

Trong cân bằng nhiệt, nguyên lý cân bằng chi tiết (principle of detailed balance) phát biểu rằng

Pa Pa → bPb Pb → a         [edb]

trong đó Pa là xác suất để hệ chiếm giữ trạng thái a, còn Pb là xác suất để hệ chiếm giữ trạng thái b. Phương trình ([edb]) phát biểu đơn giản rằng trong cân bằng nhiệt, tốc độ mà hệ chuyển từ trạng thái a sang trạng thái b bằng với tốc độ mà hệ chuyển theo chiều ngược lại. Sắp xếp lại phương trình trên ta được

Pb / Pa = exp[ − β (Eb − Ea)], 

điều này thống nhất với phân bố Boltzmann.

Bây giờ, mỗi nguyên tử trong mảng đang xét, trừ những nguyên tử ở rìa mảng, còn lại đều có bốn nguyên tử lân cận, Ta có thể loại bỏ ngoại lệ phiền phức này bằng cách đưa vào điều kiện biên tuần hoàn: nghĩa là bằng cách đồng nhất các rìa ở hai phía đối diện của mảng. Thực ra, ta có thể hình dung mảng như đang được trải trên mặt một hình vòng xuyến (torus).

Để cho tiện, ta định nghĩa

T0 = J / k. 

Bây giờ, theo lý thuyết trường trung bình,

Tc = zJ / 2 k = 2 T0. 

Cách tính

C = limΔT→0 Δ E / Δ T          [direct]

thông qua phương pháp trực tiếp là rất khó vì có những nhiễu động thống kê trong năng lượng E. Thay vào đó, ta có thể dùng một kết quả chuẩn mực trong cân bằng nhiệt động học thống kê:

\displaystyle{  C = \frac{\sigma_{E}^{\,2}}{k\,T^2},  }                       [indirect]

trong đó σE là độ lệch chuẩn của những nhiễu động có trong E. Thật may là ta có thể tính được σE một cách khá dễ dàng: chỉ cần áp dụng độ lệch chuẩn của E từng bước một trong sơ đồ lặp Monte-Carlo.

Độ từ hóa tổng hợp, M, của một mảng 5 × 5 nguyên tử sắt từ, dưới dạng hàm số theo nhiệt độ T, trong trường hợp không có từ trường ngoài. Kết quả mô phỏng Monte-Carlo.[ff7]

Nhiệt dung, C, của một mảng 5 × 5 nguyên tử sắt từ, dưới dạng hàm số theo nhiệt độ T, trong trường hợp không có từ trường ngoài. Kết quả mô phỏng Monte-Carlo. Đường nét liền chỉ nhiệt dung tính theo PT ([direct]), còn đường nết chấm thể hiện nhiệt dung tính theo PT ([indirect]).[ff7a]

Độ từ hóa tổng hợp, M, của một mảng 10 × 10 nguyên tử sắt từ, dưới dạng hàm số theo nhiệt độ T, trong trường hợp không có từ trường ngoài. Kết quả mô phỏng Monte-Carlo.

Nhiệt dung, C, của một mảng 10 × 10 nguyên tử sắt từ, dưới dạng hàm số theo nhiệt độ T, trong trường hợp không có từ trường ngoài. Kết quả mô phỏng Monte-Carlo. Đường nét liền chỉ nhiệt dung tính theo PT ([direct]), còn đường nết chấm thể hiện nhiệt dung tính theo PT ([indirect]).[ff8]

Độ từ hóa tổng hợp, M, của một mảng 20 × 20 nguyên tử sắt từ, dưới dạng hàm số theo nhiệt độ T, trong trường hợp không có từ trường ngoài. Kết quả mô phỏng Monte-Carlo.

Nhiệt dung, C, của một mảng 20 × 20 nguyên tử sắt từ, dưới dạng hàm số theo nhiệt độ T, trong trường hợp không có từ trường ngoài. Kết quả mô phỏng Monte-Carlo. Đường nét liền chỉ nhiệt dung tính theo PT ([direct]), còn đường nết chấm thể hiện nhiệt dung tính theo PT ([indirect]).[ff9]

Độ từ hóa tổng hợp, M, của một mảng 40 × 40 nguyên tử sắt từ, dưới dạng hàm số theo nhiệt độ T, trong trường hợp không có từ trường ngoài. Kết quả mô phỏng Monte-Carlo.

Nhiệt dung, C, của một mảng 40 × 40 nguyên tử sắt từ, dưới dạng hàm số theo nhiệt độ T, trong trường hợp không có từ trường ngoài. Kết quả mô phỏng Monte-Carlo. Đường nét liền chỉ nhiệt dung tính theo PT ([direct]), còn đường nết chấm thể hiện nhiệt dung tính theo PT ([indirect]). [ff10]

Các Hình [ff7a]–[ff10] cho thấy độ từ hóa và nhiệt dung theo các đường cong nhiệt độ với L = 5, 10, 20, và 40 trong điều kiện không có từ trường ngoài. Trong mọi trường hợp, mô phỏng Monte-Carlo được lặp lại 5000 lần, và 1000 lần lặp đầu tiên bị bỏ đi khi ước tính σE (để cho hệ thống đạt được cân bằng nhiệt). Mảng hai chiều các nguyên tử được khởi tạo theo một trạng thái hoàn toàn sắp đặt với mỗi giá trị khác nhau của nhiệt độ. Vì có từ trường ngoài nên việc độ từ hóa M nhận giá trị dương hay âm cũng chẳng quan trọng. Vì vậy, M được thay bằng M trên tất cả biểu đồ.

Lưu ý rằng các đường cong M theo T phát sinh bằng mô phỏng Monte-Carlo rất giống với kết quả ước tính bằng mô hình trường trung bình. Sự giống nhau này càng tăng khi kích thước L của mảng nguyên tử tăng lên. Khác biệt chủ yếu là sự có mặt của cái “đuôi” từ hóa khi T > Tc trong mô phỏng Monte-Carlo: nghĩa là trong mô phỏng Monte-Carlo độ từ khóa tức thời không rớt về 0 một khi nhiệt độ phân giới được đạt đến—còn một phần độ từ hóa sót lại khi T > Tc. Các đường cong C theo T cho thấy nhiệt dung tính trực tiếp C = Δ E / Δ T), và qua đẳng thức C = σE 2 / kT2. Cách tính thứ hai rõ ràng tốt hơn, vì nó phát sinh ít nhiễu thống kê. Lưu ý rằng nhiệt dung đạt đỉnh tại nhiệt độ phân giới, nghĩa là, khác với mô hình trường trung bình, C khác 0 khi T > Tc. Hiệu ứng này là do có từ hóa tồn dư khi T > Tc.

Hiện giờ ước tính tốt nhất cho Tc thu được từ vị trí đỉnh của đường cong C theo T trên Hình [ff10]. Ta được Tc = 2.,27 T0. Hãy nhớ lại rằng mô hình trường trung bình cho ta Tc = 2 T0. Đáp số chính xác cho mảng 2 chiều các nguyên tử sắt từ là

\displaystyle{  T_c = \frac{2\,T_0}{\ln(1+\sqrt{2})} = 2.27\,T_0,  }

kết quả này thống nhất với tính toán Monte-Carlo vừa tiến hành. Nghiệm giải tích trên được phát hiện đầu tiên bởi Onsager vào năm 1944.1 Điều tình cờ là nghiệm giải tích của Onsager cho mô hình Ising 2 chiều là một trong những tính toán phức tạp và tỉ mỉ nhất trong toàn lĩnh vực vật lý lý thuyết. Có lẽ không phải nói thêm, chưa ai tìm được một nghiệm giải tích nào cho mô hình Ising trong không gian nhiều hơn 2 chiều.

Lưu ý rằng, từ các Hình [ff7a], [ff8], [ff9], và [ff10], ta thấy chiều cao đỉnh của đường cong nhiệt dung tại T = Tc tăng dần theo kích thước mảng, L. Thật vậy, xem xét kĩ hơn những hình vẽ này ta được Cmax / Nk = 0,95 với L = 5, Cmax / Nk = 1,34 với L = 10, Cmax / Nk = 1,77 với L = 20, và Cmax / Nk = 2,16 với L = 40. Hình [cvmax] cho thấy Cmax / Nk vẽ theo lnL với L = 5, 10, 20, và 40. Có thể thấy rằng các điểm nằm trên một đường thẳng có vẻ rất thuyết phục; điều này khẳng định vững vàng rằng

Cmax / kN $latex  \propto$ lnL.

Giá trị đỉnh của nhiệt dung (chuẩn hóa với Nk) theo loga của kích thước mảng hai chiều các nguyên tử sắt từ trong điều kiện không có từ trường ngoài. Mô phỏng Monte-Carlo. [cvmax]

Dĩ nhiên, với các hệ vật lý, L\sim \sqrt{N_A} \sim 10^{12}, trong đó NA là số Avogadro. Vì vậy, C thật sự vô định tại nhiệt độ phân giới (vì lnNA ≫ 1), như được phác họa trên Hình [sketch]. Quan sát này dẫn ta đến việc chỉnh sửa lại định nghĩa về sự chuyển pha bậc hai. Hóa ra là những gián đoạn thực chất của nhiệt dung không bao giờ xảy ra. Thay vào đó, sự chuyển pha bậc hai được đặc trưng bởi một điểm giả-vô định cục bộ trong nhiệt dung.

Phác họa sự thay đổi của nhiệt dung theo nhiệt độ của một hệ vật lý sắt từ hai chiều.[sketch]

Hãy nhớ lại rằng, từ PT ([indirect]), giá trị điển hình của biên độ dao động năng lượng thì tỉ lệ thuận với căn bậc hai của nhiệt dung, nghĩa là, \sigma_E\propto \sqrt{C}). Từ đó dẫn đến biên độ dao động năng lượng trở nên rất lớn ở lân cận sự chuyển pha bậc hai.

Bây giờ, khác biệt chính giữa các kết quả theo các phương pháp trường trung bình và Monte-Carlo là sự tồn tại của độ từ hóa dư với T > Tc ở trường hợp thứ hai. Các Hình [image1]–[image5] cho thấy mẫu từ hóa của mảng 40 × 40 nguyên tử sắt từ, ở cân bằng nhiệt và không có từ trường ngoài, được tính với các nhiệt độ khác nhau. Có thể thấy rằng với T = 20 T0, mẫu có dạng hoàn toàn ngẫu nhiên. Tuy vậy, với T = 5 T0, trong mẫu bắt đầu xuất hiện những cụm nhỏ. Với T = 3 T0, các cụm phần nào đã lớn hơn. Với T = 2,32 T0, tức là cao hơn nhiệt độ phân giới một chút, các cụm đã lan rộng toàn bộ mảng. Sau cùng, với T = 1,8 T0, tức là thấp hơn nhiệt độ phân giới một chút, thì gần như có sự sắp xếp hoàn toàn các spin nguyên tử.

Vấn đề đối với mô hình trường trung bình là nó giả sử rằng mọi nguyên tử đều được đặt trong môi trường giống hệt nhau. Vì vậy, nếu hiệu ứng trao đổi không đủ lớn để gây ra sự sắp xếp tổng thể của các spin nguyên tử thì sẽ không có bất kì sự sắp xếp nào. Điều thực tế xảy ra khi nhiệt độ tăng quá nhiệt độ phân giới là sự sắp xếp tổng thể biến mất, còn sắp xếp cục bộ (tức là những cụm nhóm) còn lại. Các cụm chỉ bị tiêu biến bởi nhiễu động nhiệt độ một khi nhiệt độ lớn hơn đáng kể so với nhiệt độ phân giới. Các nguyên tử ở giữa cụm sẽ được đặt trong môi trường khác hẳn các nguyên tử ở rìa cụm. Vì vậy, cụm không thể xuất hiện trong mô hình trường trung bình.

Mẫu từ hóa của một mảng 40 × 40 nguyên tử sắt từ ở cân bằng nhiệt và trong điều kiện không có từ trường ngoài. Tính theo cách Monte-Carlo với T = 20 T0. Các ô đen/trắng biểu thị những nguyên tử nhiễm từ lần lượt theo phương  +z hoặc  −z[image1]

Mẫu từ hóa của một mảng 40 × 40 nguyên tử sắt từ ở cân bằng nhiệt và trong điều kiện không có từ trường ngoài. Tính theo cách Monte-Carlo với T = 5 T0. Các ô đen/trắng biểu thị những nguyên tử nhiễm từ lần lượt theo phương  +z hoặc  −z. [image2]

Mẫu từ hóa của một mảng 40 × 40 nguyên tử sắt từ ở cân bằng nhiệt và trong điều kiện không có từ trường ngoài. Tính theo cách Monte-Carlo với T = 3 T0. Các ô đen/trắng biểu thị những nguyên tử nhiễm từ lần lượt theo phương  +z hoặc  −z. [image3]

Mẫu từ hóa của một mảng 40 × 40 nguyên tử sắt từ ở cân bằng nhiệt và trong điều kiện không có từ trường ngoài. Tính theo cách Monte-Carlo với T = 2,32 T0. Các ô đen/trắng biểu thị những nguyên tử nhiễm từ lần lượt theo phương  +z hoặc  −z. [image4]

Mẫu từ hóa của một mảng 40 × 40 nguyên tử sắt từ ở cân bằng nhiệt và trong điều kiện không có từ trường ngoài. Tính theo cách Monte-Carlo với T = 1,8 T0. Các ô đen/trắng biểu thị những nguyên tử nhiễm từ lần lượt theo phương  +z hoặc  −z[image5]


  1. L. Onsager, Phys. Rev. 65, 117 (1944).

13 phản hồi

Filed under Vật lý tính toán

13 responses to “Chương 9: Các phương pháp Monte-Carlo (Phần 2)

  1. Pingback: Nhập môn Vật lý tính toán | Blog của Chiến

  2. chienproger

    Chào anh, em có thể copy lại bài này của anh và ghi rõ nguồn là từ blog quangchien.wordpress.com được không?

  3. Pingback: Các phương pháp Monte-Carlo | Chien Proger

  4. Quyen Vu

    anh có thể cho em xin code của monte carlo với được không ạ?
    nếu được xin a gưi cho em ở địa chỉ drvu.phy@gmail.com
    em cám ơn ạ

  5. Khách

    Anh có thể cho em xin code mô hình ising (sử dụng C) đc k ạ

  6. Vinh

    anh Chiến ơi, giúp em, thầy giáo giao bài tập về dùng mô phỏng MC, viết thuật toán Metropolis cho mô hình Ising với cấu trúc mạng TAM GIÁC để tính nội năng, nhiệt dung, độ từ hóa phụ thuộc nhiệt độ. Nhưng em chẳng biết viết cấu trúc tam giác. Anh gợi ý giúp em, cảm ơn anh ạ

    • Vấn đề này khó qúa. Bạn thử trao đổi xem những người có kinh nghiệm về matlab, dùng bộ công cụ Triangle để tạo ra mạng lưới tam giác và tính toán trên đó xem sao.

Gửi phản hồi

Mời bạn điền thông tin vào ô dưới đây hoặc kích vào một biểu tượng để đăng nhập:

WordPress.com Logo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản WordPress.com Log Out / Thay đổi )

Twitter picture

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Twitter Log Out / Thay đổi )

Facebook photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Facebook Log Out / Thay đổi )

Google+ photo

Bạn đang bình luận bằng tài khoản Google+ Log Out / Thay đổi )

Connecting to %s