Tag Archives: phương trình vi phân

Chương 8: Chương trình tính dùng phương pháp hạt-trong-ô (particle-in-cell)

Trở về Mục lục cuốn sách

Giới thiệu chung

Ta hãy xét một dòng plasma một chiều đều, phi từ tính, chứa N electron và N ion tích điện bằng đơn vị. Như vậy, ở những khoảng thời gian ngắn, có thể coi các ion như là nền trung tính đứng yên, và chỉ xét chuyển động của các electron. Đặt ri là tọa độ phương x của electron thứ i. Các phương trình chuyển động của electron thứ i này là:

\begin{array}{rcl}  \frac{dr_i}{dt} &=& v_i,\\[0.5ex]  \frac{dv_i}{dt} &=& - \frac{e\,E(r_i)}{m_e},  \end{array}

Tiếp tục đọc

Advertisements

%(count) bình luận

Filed under Vật lý tính toán

Chương 7: Phương trình sóng (Phần 2)

Trở về Mục lục cuốn sách

Phương trình sóng 1 chiều

Xét một sóng điện từ phân cực phẳng truyền trong chân không dọc theo trục z. Coi rằng các trường điện và từ có dạng E = [Ex(z, t), 0, 0], và B = [0, By(z, t), 0]. Bây giờ, theo định luật Maxwell,

\begin{array}{ccc}  \partial E_x / \partial t + c\, \partial H_y / \partial z &=& 0,\\  \partial H_y / \partial t + c\, \partial E_x / \partial z &=& 0,\\  \end{array}             [wave1da] & [wave1db]

Tiếp tục đọc

%(count) bình luận

Filed under Vật lý tính toán

Chương 7: Phương trình sóng (Phần 1)

Trỏ về Mục lục cuốn sách

Giới thiệu chung

Phương trình sóng trong không gian một chiều có dạng

2ξ / ∂t2 = c2 (∂2ξ / ∂x2),    [wave1d]

Tiếp tục đọc

%(count) bình luận

Filed under Vật lý tính toán

Chương 6: Phương trình khuếch tán

Trở về Mục lục cuốn sách

Giới thiệu chung

Phương trình khuếch tán

T(r, t) / ∂t = D ∇2T(r, t), 

trong đó D > 0 là hệ số khuếch tán (đều), mô tả nhiều hiện tượng vật lý thú vị. Chẳng hạn, định luật truyền nhiệt có thể được viết là

q =  − κ ∇T, 

Tiếp tục đọc

19 phản hồi

Filed under Vật lý tính toán

Chương 5: Phương trình Poisson (Phần 2)

Xem lại Phần 1 • Trở về Mục lục cuốn sách

Phép biến đổi Fourier nhanh

Phương pháp được phác họa trong Mục [ĐK biên Dirichlet ở Phần 1] để giải phương trình Poisson trong 2 chiều với điều kiện biên Dirichlet đơn giản theo phương y đòi hỏi ta phải thực hiện rất nhiều lượt biến đổi Fourier cho hàm sin:

FjS = 2 / J ∑ k = 1J − 1fk sin(jkπ / J)  (ffta)

với j = 0, J, và các biến đổi Fourier ngược cho hàm sin:

fj = ∑ k = 1J − 1FkS sin(jkπ / J).   (fftb)

Tiếp tục đọc

2 phản hồi

Filed under Vật lý tính toán

Chương 5: Phương trình Poisson (Phần 1)

Trở về Mục lục cuốn sách

Giới thiệu chung

Trong chương này, ta sẽ tìm hiểu một số kỹ thuật số trị đơn giản để giải phương trình Poisson:

2u(r) = v(r). 

Ở đây, u(r) thường là một dạng trường thế, còn là một v(r) nguồn. Nghiệm của phương trình trên nói chung được tìm trong một thể tích V liên tục1 nào đó được bao kín bởi một mặt S. Có hai loại điều kiện biên chính cho phương trình Poisson. Trong điều kiện biên Dirichlet, thế u được chỉ ra trên mặt S. Trong điều kiện biên Neumann, gra-đien vuông góc với bề mặt của thế, u ⋅ dS được chỉ ra trên mặt bao.

Tiếp tục đọc

18 phản hồi

Filed under Vật lý tính toán

Chương 4: Con lắc hỗn loạn (Phần 2)

Trở lại Mục lục cuốn sách

Con đường dẫn tới Hỗn mang

Ta hãy trở lại Hình [f29], trong đó dõi theo sự tiến triển của một đường thu hút tuần hoàn lệch trái khi nhân tố chất lượng Q dần được nâng lên. Hãy nhớ lại là khi Q vượt quá một giá trị phân giới, khoảng 1,348, thì đường thu hút trải qua sự phân nhánh nhân đôi chu kì, chyển từ đường thu hút chu kì-1 sang chu kì-2. Sự phân nhánh này được biểu thị bởi phân nhánh đường cong trên Hình [f29]. Bây giờ ta hãy tìm hiểu xem điều gì xảy ra nếu ta tiếp tục tăng Q. Hình [f34] cơ bản là sự tiếp nối của Hình [f29]. Có thể thấy được rằng khi Q dần tăng lên, đường thu hút sẽ trải qua sự nhân đôi chu kì tại Q = 1,348, nhưng trước đây, nhưng sau đó tiếp tục trải qua một lần nhân đôi chu kì thứ hai (biểu thị bởi chỗ chia nhánh thứ hai trên đường cong) tại Q ≃ 1,370; và một lần phân nhánh thứ ba tại Q ≃ 1,375. Hiển nhiên là lần phân nhánh thứ hai chuyển đổi đường thu hút từ dạng chu kì-2 sang một đường thu hút chu kì-4 (và do đó hai đường cong tách rời nhau để hình thành nên 4 đường). Tương tự, lần phân nhánh thứ ba đã biến đổi đường thu hút chu kì 4 thành đường thu hút chu kì 8 (do đó 4 đường cong chia thành 8 đường). Không lâu sau lần phân nhánh thứ 3, các đường cong trên hình vẽ dường như bành trướng và hợp nhau lại để tạo thành một vùng gần như đen đặc. Như ta sẽ thấy, động thái này là biểu hiện cho sự bắt đầu hình thành sự hỗn loạn. Tiếp tục đọc

2 phản hồi

Filed under Vật lý tính toán

Chương 4: Con lắc hỗn loạn (Phần 1)

Xem tiếp Phần 2 • Trở về Mục lục cuốn sách

Giới thiệu

Cho đến giờ, chúng ta chủ yếu gặp những bài toán có thể giải được bằng cách giải tích (do vậy có thể dễ dàng kiểm tra lời giải số trị). Bây giờ ta hãy tìm hiểu một bài toán vốn không thể giải được theo cách giải tích, và chỉ có thể tiến hành nghiên cứu đúng nghĩa bằng phương pháp số.

Xết một con lắc đơn gồm vật nặng coi là chất điểm có khối lượng m, ở cuối một thanh nhẹ có chiều dài l, gắn vào một chốt cố định, không có ma sát cho phép thanh (và vật nặng) có thể chuyển động tự do dưới tác dụng của trọng lực trong mặt phẳng đứng. Một con lắc như vậy được phác họa trên Hình cf1. Ta hãy tham số hóa vị trí tức thời của con lắc bằng góc θ mà thanh làm với chiều thẳng đứng hướng xuống. Giả sử rằng con lắc tự do quay được cả 360 độ. Vì vậy, θθ+2π đều tương ứng với cùng một vị trí của con lắc. Tiếp tục đọc

%(count) bình luận

Filed under Vật lý tính toán

Chương 3: Tích phân của các PVT (Phần 2)

Trở về Mục lục cuốn sách

Cơ học về đường bay của bóng chày

Bóng chày là môn thể thao chuyên nghiệp lâu đời nhất ở Mỹ. Nó là một trò chơi rất tinh tế (cũng như cricket!) với lực lượng cổ động viên đông đảo, suốt hơn 100 năm. Nó cũng gây thích thú cho các nhà vật lý—một phần là vì nhiều nhà vật lý cũng là cổ động viên cho môn thể thao này, mặt khác là do nó tuân theo những nguyên tắc vật lý chính xác. Thật ra, có nhiều cuốn sách và bài báo viết về cơ chế vật lý xoanh quanh môn bóng chày hơn bất kì môn thể thao nào khác.

Quả bóng chày được tạo thành bằng cách quấn sợi quanh một quả cầu bấc. Sau đó quả bóng sẽ được phủ bởi hai miếng da bò màu trắng quặp vào nhau và khâu chặt lại. Khối lượng và chu vi của một quả bóng chày chuẩn lần lượt là 5 oz và 9 in, hay 150 g và 23 cm. Trong những trận đấu ở liên đoàn lớn, quả bóng được ném bay một quãng đường dài 60 feet 6 inches (18,44 m) về phía người vụt, với vận tốc điển hình trong khoảng từ 60 đến 100 dặm/giờ (khoảng 30 đến 45 m/s). Người hâm mộ biết rõ có rất nhiều cách ném khác nhau. “Sliders” là cách ném lái bóng về hai bên. “Curveballs” không những lái sang bên, mà còn hạ xuống một cách nhanh khác thường. Ngược lại, “fastballs” bóng hạ xuống chậm một cách khác thường. Cuối cùng, cách ném bí hiểm “knuckleball” có thể làm bóng lượn uốn éo trong khi nó bay về phía người vụt. Làm sao mà tất cả những hiện tượng kì lạ này xuất hiện? Ta hãy khảo sát xem. Tiếp tục đọc

2 phản hồi

Filed under Vật lý tính toán

Chương 3: Tích phân của các PVT (Phần 1)

Xem tiếp Phần 2 * Trở về Mục lục cuốn sách

Trong chương này, ta sẽ xét những kĩ thuật số trị thông dụng phục vụ cho việc lấy tích phân của hệ các phương trình vi phân thường (PVT). Sau đó ta sẽ dùng những kĩ thuật này để mô phỏng quỹ đạo của những đường bay khác nhau của quả bóng chày.

Theo định nghĩa, một phương trình vi phân thường, hay PVT, là một phương trình vi phân trong đó tất cả các biến phụ thuộc đều là hàm của một biến độc lập đơn lẻ. Còn PVT bậc n là phương trình sao cho khi tối giản, đạo hàm bậc cao nhất mà nó chứa là bậc n. Tiếp tục đọc

2 phản hồi

Filed under Vật lý tính toán