Phụ lục 4: Các chữ số có nghĩa và kí hiệu lũy thừa [khoa học]

Trở về Mục lục cuốn sách

Các chữ số có nghĩa

Những phép tính trong hóa học (hay bất kì khoa học nào cùng thể loại) đều liên quan tới những con số bắt nguồn từ phép đo thực nghiệm. Chẳng hạn, bài toán đặt ra là tính thể tích của một lượng khí nhất định, cho trước khối lượng, áp suất và nhiệt độ của nó. Các số liệu này được đo đạc một cách thực nghiệm, và mỗi phép đo lại chứa sai số nhất định. Hiển nhiên là sai số này sẽ bị phản ánh trong kết quả tính toán thể tích khí. Luôn có một xu hướng tự nhiên là tính toán “an toàn”, nghĩa là thực hiện tính toán với con số chứa nhiều chữ số phần thập phân hơn là năng lực chính xác của thí nghiệm. Làm như vậy, không chỉ đáp số biểu thị sai thể tích thực, mà có lẽ còn lãng phí nhiều công sức để tính nhiều chữ số thập phân. Với sự xuất hiện của máy tính tay, việc tính toán với nhiều chữ số còn mạnh mẽ hơn, so với thời chỉ có thước trượt với độ chuẩn xác hạn chế. Một nhà khoa học chỉ định mỗi số có độ “tốt” đến đâu bằng cách chỉ viết ra những chữ số được biết chắc chắn, và chỉ thêm một chữ số nữa. Những chữ số đã biết và một chữ số hồ nghi này hợp thành những chữ số có nghĩa. Chẳng hạn, việc đo thể tích của một lượng khí là 48,12 ml ngụ ý rằng có bốn chữ số có nghĩa, trong đó 4, 8, và 1 là các chữ số đã biết chắc chắn, còn 2 là chữ số đáng ngờ. Chúng ta nên xét những nhân tố quy định sai số trong một phép đo chẳng hạn như thể tích lượng khí đã đề cập ở trên. Sai số trong thể tích đo được là tổng hợp của độ chính xác và độ chuẩn xác của phép đo. Độ chính xác thì liên quan đến sai số tuyệt đối của một phép đo, còn độ chuẩn xác liên quan đến chi tiết thực hiện phép đo này. Chẳng hạn, giả sử thể tích của lượng khí này được đo bằng một buret (ống nhỏ giọt) khí 50 ml. Thể tích 48,12 ml đã xác định này cho thấy rằng nhà hóa học đã thực hiện phép đo và họ có thể lặp lại phép đo này trong chính cái buret đó với độ chính xác trong khoảng 0,01 ml (chữ số cuối cùng là đáng ngờ). [Một nhà hóa học ít kinh nghiệm hơn có thể lặp lại việc đọc trên buret này với độ chính xác ±0,02 ml. Trong trường hợp này, phải viết như 48,12 ± 0,02 ml; nếu không thì người đọc sẽ giả sử một độ chuẩn xác là ±1 đơn vị ở chữ số có nghĩa đáng ngờ.]  Độ chuẩn xác của nhà hóa học ban đầu này, như được ngụ ý trong con số 48,12 ml, có thể được diễn đạt thành 48,12 ± 0,01 ml, hay 48,12 ± 0,02% ml, bởi vì Tuy nhiên, bản thân cái buret đó có thể không chính xác. Nghĩa là, những vạch khắc của nó có thể sai lệch, sự biến đổi nhiệt độ phòng thí nghiệm có thể làm thay đổi dung tích của buret so với từ khi nó được khắc vạch, hoặc chất lỏng cần đo chưa được giọt hết khi đọc số đo. Trong bất kì trường hợp nào như vậy,, thì thể tích có thể được đo rất chuẩn xác, nhưng lại kém chính xác. Dĩ nhiên, nhà hóa học nào cũng muốn dùng các dụng cụ được kiểm định chính xác để cho độ đúng đắn của phép đo chỉ còn phụ thuộc vào độ chuẩn xác mà họ có thể thực hiện được khi đo. Dù trong một số trường hợp cũng không đúng lắm, nhưng ta có thể giả sử rằng tất cả những dụng cụ dùng để thu thập số liệu thì đều có độ chính xác so sánh được với những số đo. Bởi vậy, như ta đã biết, tất cả các số trong bài toán đều có một vài chữ số có nghĩa; nhiệm vụ của ta là đảm bảo rằng khi tính toán những con số này, ta không bóp méo thông tin bằng cách vứt bớt hay “thêm” vào độ chính xác. Để làm điều này, một số quy tắc đơn giản sau sẽ giúp bạn.

Các phép cộng và trừ

Lý do đưa ra nguyên tắc tính với phép cộng và trừ có thể hiểu được từ ví dụ sau. Nếu như một cốc thủy tinh không nặng 64 g và bạn đặt vào một mẫu NaCl nặng 0,176 g vào trong cốc, thì lúc này tổng khối lượng của cốc và lượng muối sẽ bằng bao nhiêu? Nếu không suy nghĩ, có lẽ bạn đã theo bản năng với việc đơn giản là lấy tổng hai số, 64 + 0,176; và ghi lại kết quả khối lượng là 64,176 g. Nếu bạn làm thế này, bạn đã sai. Hãy nhớ rằng ta chỉ được phép viết con số trong khuôn khổ những chữ số có ý nghĩa. Việc nói rằng tổng trọng lượng của cốc và NaCl bằng 64,176 g có nghĩa là bạn đã chắc chắn với các chữ số 6, 4, 1, và 7; đồng thời chỉ nghi ngờ chữ số 6 sau cùng. Thực tế là bạn đã nói rằng tổng khối lượng được biết chính xác đến ±0,001 g; nghĩa là đến trong giới hạn cộng trừ 1 phần 64176—khoảng 1 phần 64000 hay ±0,0015%. Rõ ràng điều này là vô nghĩa. Khối lượng của cốc trống không đã cho là 64 g, ngụ ý rằng khối lượng này được biết chính xác đến 64 ± 1 g. Bạn không chỉ nghi hoặc chữ số 4—chữ số này có thể là 3 hoặc 5 chẳng hạn—mà còn không nắm được thông tin gì về những chữ số đứng sau 4 nữa. Bởi vậy, bất kì chữ số nào trong phần thập phân đều không biết rõ, và bạn không được ghi chúng lại. Nếu thực hiện điều này sẽ là cho thấy rằng bạn nắm những thông tin mà thực ra mình không có. Đáp số đúng có thể dễ dàng tìm ra bằng cách chỉ định những chữ số không rõ bằng dấu chấm hỏi:

	64,???
+	0,176
	64,???

Rõ ràng là dù ta đã biết các chữ số 1, 7, và 6 ở hàng thứ hai, nhưng khi chúng được cộng với các chữ số chưa xác định tương ứng ở hàng thứ nhất, các giá trị thu được của những chữ số phần thập phân cũng là chưa xác định. Bởi vậy, bạn phải viết khối lượng đúng của cốc thủy tinh kèm lượng muối là 64 g. Kết quả mà ta rút ra từ ví dụ này có thể được phát biểu cho phép cộng và trừ:

Hãy làm tròn tất cả các số hạng trong phép cộng hoặc trừ sao cho mỗi số đều có cùng số các chữ số phần thập phân như số hạng vốn có ít chữ số phần thập phân nhất. Sau đó hãy cộng hoặc trừ kết quả những số sau khi làm tròn này.

Chẳng hạn, hãy xét phép cộng những con số sau: 119,2 204,12 1,75 260,3734 Số 119,2 có ít chữ số trong phần thập phân nhất: chỉ có một. Vì vậy, cần phải làm tròn tất cả những số trong nhóm sao cho mỗi số chỉ có một chữ số phần thập phân, rồi cộng lại:

119,2

204,1

1,8

260,4

585,5

Trước khi đi tiếp, ta cần thảo luận hai điểm nữa.

1. Việc quy ước làm trong số phụ thuộc vào chữ số liền kề bên phải nó. Nếu như chữ số bên phải lớn hơn 5 thì số được làm tròn thêm một. Như vậy 260,3734 được làm tròn lên thành 260,4. Nếu như chữ số bên phải nhỏ hơn 5 thì chữ số vẫn giữ nguyên khi làm tròn. Vì vậy 204,12 làm tròn thành 204,1. Nếu như chữ số bên phải đúng bằng 5 thì quy ước là tăng thêm một nếu chữ số này đang lẻ, hoặc giữ nguyên nếu nó chẵn. Như vậy, 1,75 được làm tròn lên thành 1,8, còn 1,85 thì làm tròn xuống thành 1,8. Quy tắc cuối vừa rồi nghe có vẻ tùy tiện, song được lý giải rằng xác suất gặp được chữ số lẻ để làm tròn xuống thì cũng bằng với xác suất gặp số chẵn. Bởi vậy, bàng cách áp dụng quy tắc này, xét về trung bình ta sẽ làm tăng nhiều số như với làm giảm trong quá trình làm tròn. Bất kì sai số nào gây ra do làm tròn số lớn sẽ được bù đắp bằng những sai số gây ra do số nhỏ.
2. Ta có thể thay đổi quy trình nêu ra ở quy tắc trên và cộng hoặc trừ y nguyên những số ban đầu. Sau đó ta có thể làm tròn kết quả để cho kết quả có cùng số chữ số phần thập phân giống như số hạng có ít chữ số phần thập phân nhất. Thông thường, ta sẽ thu được kết quả hơi khác nhau một chút tùy theo quy trình áp dụng. Song đừng lo; hãy nhớ rằng dù sao chữ số cuối cùng cũng là đáng ngờ. Hãy luyện tập những bài dưới đây, và biểu diễn đáp số dưới dạng đúng những chữ số có nghĩa.

Bài tập

(1)  4,72 + 203,6 + 121,780 + 55
(2)  3,1416 + 2,73 + 5,921 + 3,83
(3)  297,64 – 31,279
(4)  32,745 + 121,5 – 326,73
(5)  49378,2 + 25,98 – 33

Đáp số. (1) 385 ;  (2) 15,62 ;  (3) 266,36 ;  (4) –172,4 ;  (5) 49371.

Các số không (0) còn làm phức tạp hơn đối với những chữ số có nghĩa vì số không có hai chức năng trong một con số. Một chữ số không có thể biểu thị rằng một chữ số thập phân được đo bằng 0; về phương diện này nó là chữ số có nghĩa. Song chữ số 0 còn có thể được dùng để chỉ vị trí của dấu phẩy; về phương diện này nó không phải là chữ số có nghĩa. Lấy thí dụ với những số sau: (a) 0,0123 ; (b) 2027,3 ;  (c) 0,1072 ;  (d) 0,200. Số thứ nhất có ba chữ số có nghĩa là 1, 2, và 3. Số không nằm giữa dấu phảy và số 1 chỉ là để định vị phần thập phân; có nghĩa là nó chỉ định rằng con số 123 chỉ là phần trăm của đơn vị, chứ không phải là 123, 123 phần nghìn, v.v. Như vậy, số không này không được tính là chữ số có nghĩa. Số thứ hai có năm chữ số có nghĩa. Số không ở đây không để định vị phần thập phân nữa; mà chính là một chữ số cần thiết trong con số này. Điều đó cũng đúng với chữ số 0 trong số (c), vốn có bốn chữ số có nghĩa. Trường hợp số cuối cùng thì rất thú vị. Việc con số hai phần mười có thể được biểu diễn bằng cả 0,2 lẫn 0,200 đã cho thấy rằng hai chữ số 0 đứng sau con số 2 phải là có nghĩa; bởi nếu không thì chúng đã không viết ra trong cả con số này. Vì vậy, có ba chữ số có nghĩa trong (d), và ta có thể coi rằng phép đo được thực hiện bằng một thiết bị với độ chính xác đến ± 0,001. Một phương pháp thường được dùng để tránh sự nhầm lẫn trong việc biểu diễn bởi những chữ số 0 là cách viết số dưới dạng lũy thừa của 10. Theo dạng này, số mũ sẽ định vị dấu phẩy, và chỉ có những chữ số có nghĩa mới được viết ở trước cơ số. (Nếu bạn không thể nhớ được ý nghĩa của các số mũ, thì hãy xem mục tiếp theo.) Các số trong ví dụ trước được viết dưới dạng số mũ của 10 (thường gọi là kí hiệu khoa học) theo cách sau đây:

(a) 0,0123 = 1,23 × 10⁻²
(b) 2027,3 = 2,0273 × 10³
(c) 0,1072 = 1,072 × 10⁻¹
(d) 0,200 = 2,00 × 10⁻¹

Để kiểm tra khả năng hiểu của mình, hãy đếm số chữ số có nghĩa trong các con số sau rồi biểu diễn chúng dưới dạng số mũ của 10.

Bài tập

(1)  2305,0
(2)  0,00007062
(3)  21,070
(4)  0,02003
(5)  900,0
(6)  1000 quả táo khi bạn đã biết chính xác số táo.
(7)  0,7020 ± 0,001

Đáp số. (1) năm chữ số có nghĩa, 2,3050 × 10³;  (2) bốn chữ số có nghĩa, 7,062 × 10⁻⁵; (3) năm chữ số có nghĩa, 2,1070 × 10; (4) bốn chữ số có nghĩa, 2,003 × 10⁻²; (5) bốn chữ số có nghĩa, 9,000 × 10²; (6) bốn chữ số có nghĩa, 1,000 × 10³; (7) ba chữ số có nghĩa, 7,02 × 10⁻¹. Phần ±0,001 cho thấy độ không xác định nằm ở chữ số thứ ba trong phần thập phân, và chữ số 2 là chưa xác định.

Các phép nhân và chia

Việc ước lượng mức độ bất định của đáp số nhận được từ một dãy phép tính nhân và chia thì khó hơn so với các phép cộng và trừ. Để ước lượng chuẩn xác, ta cần phải xác định được độ bất định của từng thừa số rồi sau đó cộng chúng lại để tìm độ bất định của đáp số. Sau đó, đáp số được viết ra với những chữ số có nghĩa, sao cho độ bất định chỉ xuất hiện ở chữ số sau cùng. Quy trình này khi làm sẽ tốn nhiều thời gian, và người ta ưa dùng một quy trình nhanh hơn dù không chuẩn xác bằng. Một quy trình như vậy được phát biểu như sau:

Hãy biểu diễn đáp số của phép nhân và/hoặc chia sao cho đáp số có cùng số chữ số có nghĩa như thừa số có ít chữ số có nghĩa nhất.

Lưu ý rằng cần nhấn mạnh số các chữ số có nghĩa trong phép nhân và chia. Không phải là số chữ số trong phần thập phân của giá trị phép đo, như với các phép cộng và trừ nữa. Quy tắc trên được dựa theo nguyên lý logic, đó là độ tin cậy của một kết quả xác định từ sự kết hợp một dãy các số không thể cao hơn chính con số kém tin cậy nhất trong dãy đó. Vì vậy, do trong một con số chỉ chứa các chữ số có nghĩa, chữ số cuối cùng là đáng ngờ, nên độ bất định trong số đó có thể được xấp xỉ bằng số các chữ số có nghĩa; tức là số có càng nhiều chữ số có nghĩa thì nó càng được biết rõ nhất. Một con số gồm bốn chữ số có nghĩa thì được biết rõ đến mức tối thiểu là 1 phần nghìn, số có ba chữ số có nghĩa được biết rõ ít nhất là 1 phần trăm, và cứ như vậy. Dĩ nhiên là ta giả sử rằng độ bất định trong chữ số đang ngờ đó thì bằng cộng hoặc trừ một đơn vị. Giả sử này sẽ được coi là hợp lệ với số liệu trong các bài toán. Hãy xét các dãy phép tính nhân và chia sau đây.

Ví dụ

2,760 / 5,46 = ?

Lời giải. Kết quả, tính đến bốn chữ số sau phần thập phân, là 0,5055. Để xác định được cần phải làm tròn số này đến chỗ nào, ta nhận thấy rằng có bốn chữ số có nghĩa trong thừa số [cụ thể là số bị chia] 2,760 (nếu như chữ số 0 không có nghĩa thì nó đã chẳng được viết ở đó) và có ba chữ số có nghĩa trong thừa số 5,46. Như vậy, kết quả phải được làm tròn về ba chữ số có nghĩa và viết đúng là 0,506.

Ví dụ

Lời giải. Số các chữ số có nghĩa trong các thừa số là: hai trong số 1,9; bốn trong số 3,725; ba trong 6,02 × 10²³; và hai trong 0,0071. Trong số các thừa số này, thừa số ít nhất là có hai chữ số có nghĩa, nên kết quả phải được làm tròn thành hai chữ số có nghĩa và được viết đúng là 4,2 × 10⁻²¹.

Đôi khi có sự phức tạp như ở ví dụ sau.

Ví dụ

Lời giải. Đáp số viết với bốn chữ số phần thập phân là 1,0941. Quy tắc nêu trên phát biểu rằng ta cần làm tròn số này đến hai chữ số có nghĩa, tức là làm tròn thành 1,1; bởi 9,9 là thừa số được biết rõ với độ chuẩn xác kém nhất (9,9 ± 0,1, hay một phần 99, hay khoảng 1%).

Nhưng có điều hoàn toàn không đúng trong cách giải trên. Đáp số (1,1) cho thấy độ chuẩn xác là 1 phần 11, hay chỉ khoảng 10%. Mức độ chuẩn xác này kém hơn thừa số ít chuẩn xác nhất. Về khía cạnh nào đó, ta đã tự lừa dối bản thân đôi chút khi biểu diễn kết quả như thế này bở con số bất định nhất mà ta có trong tay lại được biết rõ khoảng 10 lần chắc chắn hơn so với đáp số được biểu diễn là 1,1. Trên cơ sở này, ta hoàn toàn có lý nếu bổ sung thêm một chữ số có nghĩa nữa và viết kết quả thành 1,09. Quy trình này sẽ chỉ định rằng kết quả được biết rõ là 1,09 ± 0,01 (nghĩa là trong khoảng một phần 109 hay khoảng 1%, tức là một ước tính trung thực hơn mức độ biết rõ của ta, so với giá trị 1,1). Ta hãy tính thể tích của một khối cầu từ quan hệ V =  πr³. Đại lượng đo đạc là r, và số chữ số có nghĩa trong giá trị của r sẽ quyết định đáp số đúng. Vậy còn  π thì sao? Ta hãy nghĩ một chút về những con số này. Pi (π) có một giá trị được ấn định mà người ta có thể xác định bao nhiêu chữ số có nghĩa cũng được, 3,141592653589793. Trong phép tính, ta chỉ cần áp dụng nhiều hơn số chữ số có ý nghĩa được biết đến ở r là được. Các số 4 và 3 trong phân số 4/3 là các số chính xác. Mặc dù theo quy ước chúng không được viết rõ, song ta đều biết chúng đến vô hạn các chữ số có nghĩa (4,0000000…). Bạn sẽ dùng nhiều số chính xác trong các bài toán và cần phải nhận thấy rằng vì những số này là chính xác nên ta sẽ không xét đến số lượng các chữ số có nghĩa nữa.

Ví dụ

Giả sử ta cần tính thể tích khối cầu có đường kính d bằng 4,00 cm.

Lời giải. Vì d = 2r

r = = 2,00 cm

Vì 2 là số chính xác nên số các chữ số có nghĩa trong bán kính được quyết định bởi ba chữ số trong giá trị đường kính. Do vậy,

V =  πr³ =  π(2,00 cm)³

Vì có ba chữ số có nghĩa trong r, nên cũng sẽ có ba chữ số có nghĩa trong đáp số, miễn là ta dùng một giá trị của π được biểu diễn bởi ít nhất là ba chữ số có nghĩa. Đáp số đúng bằng 33,5 cm³.

Để kiểm tra mức độ hiểu của bạn, hãy trình bày đáp số của các bài tập sau theo số chữ số có nghĩa hợp lý.

Bài tập

1. = 0,0110906

2. (4,00 × 10²)³ = 64000000

3. = 108,176

4. = 109,01

5. Ba mẫu quặng được cân trên những cân đĩa khác nhau cùng với độ bất định kèm theo:376,6 ± 0,5 g   …  273,17 ± 0,02 g  …  0,1725 ± 0,0001 gMức độ bất định phần trăm trung bình trong các phép đo này bằng bao nhiêu?

Đáp số. (1) 0,0111; (2) 6,40 × 10⁷; (3) 1,1 × 10²; (4) 109; (5) Ba độ bất định phần trăm lần lượt là 0,13%, 0,007% và 0,058%; độ bất định phần trăm trung bình là 0,06%.

Các số lũy thừa hay dạng “kí hiệu khoa học”

Cách viết dạng lũy thừa không chỉ cho phép ta biểu diễn thông tin về các chữ số có nghĩa mà giảm thiểu được sự nhầm lẫn, cách này còn giúp tránh được viết nhiều số 0 cho các số quá nhỏ và lớn. Nhiều khi bạn sẽ thấy viết dạng kí hiệu lũy thừa sẽ tiện lợi hơn.

Ta dùng các số lũy thừa để biểu diễn các đại lượng theo số mũ của 10. Một con số lũy thừa gồm có hai phần: một hệ số (được chọn từ 1 đến 10) và một lũy thừa của 10. Chẳng hạn, số Avogadro được viết là 6,02 × 10²³; trong đó 6,02 là hệ số còn 23 là lũy thừa của 10.

Một số mũ n dương cho thấy rằng hệ số phải được nhân lên với 10n lần; nghĩa là dấu phẩy cần được dịch chuyển n vị trí sang bên phải vị trí hiện thời trong hệ số. Một số mũ âm, –m, âm cho thấy rằng hệ số cần được chia cho 10m lần, nghĩa là dấu phẩy cần được dịch chuyển m vị trí sang trái. Chẳng hạn:

0,0000000192 = 1,92 × 10⁻⁸
1 nghìn = × 10³
96500 = 9,65 × 10⁴

Để cộng hoặc trừ các số lũy thừa, ta cần phải đảm bảo chắc rằng các lũy thừa của 10 đó phải như nhau. Nếu không thì phép toán sẽ giống như cộng hai đại lượng khác nhau: 2x + 2y = ?, trong khi 2x + 2x = 4x. Nói cách khác, 2 trăm cộng 2 nghìn không bằng 4 trăm hay 4 nghìn. Nhưng 2 trăm cộng 20 trăm (hay 2 nghìn) thì bằng 22 trăm. Như vậy, trước khi cộng hoặc trừ các đại lượng, các đơn vị (trong trường hơp này là vị trí tương đối của dấu phẩy) phải như nhau. Yêu cầu này có thể sẽ buộc bạn phải viết lại số lũy thừa. Khâu rất dễ dàng nếu bạn nhờ rằng mỗi lần lũy thừa 10 dương thêm một đơn vị thì tương đương với nhân số lên 10 ần, hay dịch chuyển dấu phẩy trong hệ số một vị trí sang phải. Tương tự, nếu lũy thừa của 10 được làm cho âm hơn, thì cũng tương đương với việc chuyển dấu phẩy trong hệ số sang trái. Chẳng hạn,

6,022 × 10²³ + 7,65 × 10²¹ = ?

Hãy viết lại cả hai số này để chúng có cùng lũy thừa 10; chẳng hạn, cùng là 21. Để viết 6,022 × 10²³ thành các lũy thừa của 10²¹ (số mũ được giảm đi hai bậc lũy thừa của 10) thì cần tăng hệ số lên lũy thừa hai của 10. Do vậy, dấu phẩy của nó cần được dịch chuyển hai vị trí sang phải:

6,022 × 10²³ = 602,2 × 10²¹

Bây giờ hai số này có thể cộng lại được:

602,2 × 1021
+ 7,65 × 1021
609,8 × 1021	hay 6,098 × 1023

Hãy làm các bài tập sau để kiểm tra mức độ hiểu của bạn.

Bài tập

1. Cộng 2,46 × 10⁻⁹ cm với 2,46 × 10⁻⁸ cm.

2. Trừ 2,234 × 10² cm đi 1,625 × 10⁻¹ cm.

3. Cộng 4,0075 × 10⁻³ ml với 6,23 × 10² ml.

4. Trừ 2,1623 × 10¹ g đi 1,725 × 10⁻¹ g.

Đáp số. (1) 2,71 × 10⁻⁸ cm; (2) 2,232 × 10² cm; (3) 4,630 × 10³ ml; (4) 2,1450 × 10 g.

Trong phép nhân, bạn chỉ cần nhân các hệ số với nhau rồi nhân các lũy thừ với nhau (tức là cộng số mũ lại) để thu được hệ số và lũy thừa của kết quả. Chẳng hạn,

6,02 × 10²³ × 1,76 × 10⁻² = ?

Tích cả các hệ số lấy đến các chữ số có nghĩa phù hợp là 6,02 × 1,76 = 10,6. Tích số của các lũy thừa 10 là 10²³ × 10⁻² = 10^{−[23+(–2)]} = 10²¹. Đáp số cho phép nhân trên là 10,6 × 10²¹, hay viết dưới dạng ưa chuộng là hệ số phải nằm giữa 1 và 10, thì bằng 1,06 × 10²².

Trong phép chia, các hệ số được chia riêng, và số mũi chia riêng. Hãy nhớ rằng trong phép chia các số mũ, thì ta lấy số mũ của số bị chia (tử số) chia cho số mũ số chia (mẫu số). Chẳng hạn,

Chia 6,022 cho 5,976 được 1,008 với đúng số lượng các chữ số có nghĩa. Việc chia các lũy thừa cho ta 10²³/10²⁷ = 10^(23–27) = 10⁻⁴. Do vậy kết quả là 1,008 × 10⁻⁴.

Quy tắc chung này cũng được áp dụng khi nâng một lũy thừa lên một số mũ. Đầu tiên là hệ số được nâng lên trước, rồi đến phần lũy thừa, sau đó kết quả hai phép tính này được kết hợp lại để ra đáp số. Như vậy,

(6 × 10³)³ = 216 × 10⁹ = 2 × 10¹¹.    (nếu chỉ có một chữ số có nghĩa)

(5,1 × 10⁻²)² = 26 × 10⁻⁴ = 2,6 × 10⁻³.

Để tránh các lũy thừa lẻ (có phần thập phân) khi lấy căn, ta phải điều chỉ lũy thừa của 10 để nó trở thành số chẵn nếu cần phải tính căn bậc hai, và thành một bội số của 3 nếu như phải lấy căn bậc 3, và cứ như vậy. Do đó, để lấy căn bậc ba của số Avogadro, (6,02 × 10²³)^1/3., trước hết bạn phải viết lại số lũy thừa của 10 thành bội số của 3. Vì 3 × 7 = 21 và 3 × 8 = 24; cả 10²¹ và 10²⁴ đều là các số lũy thừa thích hợp. Ta hãy viết lại số Avogadro thành một hệ số nhân với 10²¹ bằng cách di chuyển dấu phẩy ở hệ số sang phải hai vị trí và giảm bậc lũy thừa 10 đi hai đơn vị: (602 × 10²¹)^1/3. Căn bậc ba của 602 là 8,45; căn bậc ba của 10²¹ là 10⁷. Đáp số là 8,45 × 10⁷.

Để tự kiểm tra mức độ hiểu của mình, bạn hãy làm những bài tập sau.

Bài tập

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

Đáp số. (1) 5,36 × 10²³; (2) 5,10 × 10⁻³⁵; (3) 1,3 × 10⁻⁶; (4) 1,4 × 10⁻⁷; (5) 8,7 × 10⁻³.

Các tác giả cảm ơn Giáo sư Wilbert Hutton đã cho phép in lại nội dung Phụ lục 4 từ A Study Guide to Chemical Principles, ấn bản 2.