Chương 9: Các phương pháp Monte-Carlo (Phần 2)

 Trở về Mục lục cuốn sách

Mô hình Ising

Tính sắt từ biểu hiện khi một tập hợp các spin nguyên tử sắp xếp sao cho các mô-men từ của chúng đều có cùng hướng, do đó tạo nên mô-men tổng hợp có độ lớn đáng kể. Cách biểu diễn lí thuyết đơn giản nhất cho hiện tượng sắt từ được gọi là mô hình Ising. Mô hình được Wilhelm Lenz phát minh năm 1920: tên của nó được đặt theo Ernst Ising, học trò của Lenz, người đã chọn mô hình này làm chủ đề luận án tiến sĩ năm 1925.

Xét N nguyên tử tồn tại trong từ trường định hướng z có cường độ H. Giả sử rằng mọi nguyên tử đều là hệ spin –½ như nhau. Điều này dẫn đến hoặc s_i = +1 (spin hướng lên), hoặc s_i = −1 (spin hướng xuống), trong đó s_i là (hai lần) thành phần theo phương z của spin nguyên tử thứ i. Tổng năng lượng của hệ được viết là:

E =  − J ∑ _<ij>s_i s_j − μ H ∑_i=1^N s_i.       [eising]

Chương 9: Các phương pháp Monte-Carlo (Phần 1)

Trở về Mục lục cuốn sách

Giới thiệu

Các phương pháp số dùng đến số ngẫu nhiên được gọi là phương pháp Monte-Carlo—đặt tên theo sòng bạc nổi tiếng. Ứng dụng dễ thấy của các phương pháp này là ở trong lĩnh vực vật lý ngẫu nhiên: chẳng hạn nhiệt động học thống kê. Tuy vậy, còn có những ứng dụng khác, khó thấy hơn, chẳng hạn, để ước tính tích phân nhiều chiều.

Số ngẫu nhiên

Không có thuật toán nào đủ khả năng tạo ra dãy số ngẫu nhiên thực sự. Tuy vậy, có những thuật toán phát sinh ra những dãy lặp lại gồm, chẳng hạn, M số nguyên gần như phân bố ngẫu nhiên trong khoảng từ 0 đến M − 1. Ở đây, M là số nguyên (hi vọng là) lớn. Kiểu dãy số này được gọi là giả ngẫu nhiên.

Chương 8: Chương trình tính dùng phương pháp hạt-trong-ô (particle-in-cell)

Trở về Mục lục cuốn sách

Giới thiệu chung

Ta hãy xét một dòng plasma một chiều đều, phi từ tính, chứa N electron và N ion tích điện bằng đơn vị. Như vậy, ở những khoảng thời gian ngắn, có thể coi các ion như là nền trung tính đứng yên, và chỉ xét chuyển động của các electron. Đặt r_i là tọa độ phương x của electron thứ i. Các phương trình chuyển động của electron thứ i này là:

Chương 7: Phương trình sóng (Phần 2)

Trở về Mục lục cuốn sách

Phương trình sóng 1 chiều

Xét một sóng điện từ phân cực phẳng truyền trong chân không dọc theo trục z. Coi rằng các trường điện và từ có dạng E = [E_x(z, t), 0, 0], và B = [0, B_y(z, t), 0]. Bây giờ, theo định luật Maxwell,

             [wave1da] & [wave1db]

Chương 7: Phương trình sóng (Phần 1)

Trỏ về Mục lục cuốn sách

Giới thiệu chung

Phương trình sóng trong không gian một chiều có dạng

∂²ξ / ∂t² = c² (∂²ξ / ∂x²),    [wave1d]

Chương 6: Phương trình khuếch tán

Trở về Mục lục cuốn sách

Giới thiệu chung

Phương trình khuếch tán

∂T(r, t) / ∂t = D ∇²T(r, t), 

trong đó D > 0 là hệ số khuếch tán (đều), mô tả nhiều hiện tượng vật lý thú vị. Chẳng hạn, định luật truyền nhiệt có thể được viết là

q =  − κ ∇T, 

Chương 5: Phương trình Poisson (Phần 2)

Xem lại Phần 1 • Trở về Mục lục cuốn sách

Phép biến đổi Fourier nhanh

Phương pháp được phác họa trong Mục [ĐK biên Dirichlet ở Phần 1] để giải phương trình Poisson trong 2 chiều với điều kiện biên Dirichlet đơn giản theo phương y đòi hỏi ta phải thực hiện rất nhiều lượt biến đổi Fourier cho hàm sin:

F_j^S = 2 / J ∑ _k = 1^J − 1f_k sin(j k π / J)  (ffta)

với j = 0, J, và các biến đổi Fourier ngược cho hàm sin:

f_j = ∑ _k = 1^J − 1F_k^S sin(j k π / J).   (fftb)

Chương 5: Phương trình Poisson (Phần 1)

Trở về Mục lục cuốn sách

Giới thiệu chung

Trong chương này, ta sẽ tìm hiểu một số kỹ thuật số trị đơn giản để giải phương trình Poisson:

∇²u(r) = v(r). 

Ở đây, u(r) thường là một dạng trường thế, còn là một v(r) nguồn. Nghiệm của phương trình trên nói chung được tìm trong một thể tích V liên tục¹ nào đó được bao kín bởi một mặt S. Có hai loại điều kiện biên chính cho phương trình Poisson. Trong điều kiện biên Dirichlet, thế u được chỉ ra trên mặt S. Trong điều kiện biên Neumann, gra-đien vuông góc với bề mặt của thế, ∇u ⋅ dS được chỉ ra trên mặt bao.

Chương 4: Con lắc hỗn loạn (Phần 2)

Trở lại Mục lục cuốn sách

Con đường dẫn tới Hỗn mang

Ta hãy trở lại Hình [f29], trong đó dõi theo sự tiến triển của một đường thu hút tuần hoàn lệch trái khi nhân tố chất lượng Q dần được nâng lên. Hãy nhớ lại là khi Q vượt quá một giá trị phân giới, khoảng 1,348, thì đường thu hút trải qua sự phân nhánh nhân đôi chu kì, chyển từ đường thu hút chu kì-1 sang chu kì-2. Sự phân nhánh này được biểu thị bởi phân nhánh đường cong trên Hình [f29]. Bây giờ ta hãy tìm hiểu xem điều gì xảy ra nếu ta tiếp tục tăng Q. Hình [f34] cơ bản là sự tiếp nối của Hình [f29]. Có thể thấy được rằng khi Q dần tăng lên, đường thu hút sẽ trải qua sự nhân đôi chu kì tại Q = 1,348, nhưng trước đây, nhưng sau đó tiếp tục trải qua một lần nhân đôi chu kì thứ hai (biểu thị bởi chỗ chia nhánh thứ hai trên đường cong) tại Q ≃ 1,370; và một lần phân nhánh thứ ba tại Q ≃ 1,375. Hiển nhiên là lần phân nhánh thứ hai chuyển đổi đường thu hút từ dạng chu kì-2 sang một đường thu hút chu kì-4 (và do đó hai đường cong tách rời nhau để hình thành nên 4 đường). Tương tự, lần phân nhánh thứ ba đã biến đổi đường thu hút chu kì 4 thành đường thu hút chu kì 8 (do đó 4 đường cong chia thành 8 đường). Không lâu sau lần phân nhánh thứ 3, các đường cong trên hình vẽ dường như bành trướng và hợp nhau lại để tạo thành một vùng gần như đen đặc. Như ta sẽ thấy, động thái này là biểu hiện cho sự bắt đầu hình thành sự hỗn loạn.

Chương 4: Con lắc hỗn loạn (Phần 1)

Xem tiếp Phần 2 • Trở về Mục lục cuốn sách

Giới thiệu

Cho đến giờ, chúng ta chủ yếu gặp những bài toán có thể giải được bằng cách giải tích (do vậy có thể dễ dàng kiểm tra lời giải số trị). Bây giờ ta hãy tìm hiểu một bài toán vốn không thể giải được theo cách giải tích, và chỉ có thể tiến hành nghiên cứu đúng nghĩa bằng phương pháp số.

Xết một con lắc đơn gồm vật nặng coi là chất điểm có khối lượng m, ở cuối một thanh nhẹ có chiều dài l, gắn vào một chốt cố định, không có ma sát cho phép thanh (và vật nặng) có thể chuyển động tự do dưới tác dụng của trọng lực trong mặt phẳng đứng. Một con lắc như vậy được phác họa trên Hình cf1. Ta hãy tham số hóa vị trí tức thời của con lắc bằng góc θ mà thanh làm với chiều thẳng đứng hướng xuống. Giả sử rằng con lắc tự do quay được cả 360 độ. Vì vậy, θ và θ+2π đều tương ứng với cùng một vị trí của con lắc.